الرياضيات — قواعد حساب النهايات وحل تمارين تطبيقية — الأولى ثانوي (شعب علمية) — المنهاج الجزائري

قواعد حساب النهايات وحل تمارين تطبيقية

النهايات مفهوم أساسي في التحليل الرياضي. تمهد لدراسة الاشتقاق وتغيرات الدوال. هذا الدرس يقدم القواعد الأساسية لحساب النهايات.

1. تعريف النهاية

نقول أن f(x) تؤول إلى L عندما يؤول x إلى a، ونكتب lim(x→a) f(x) = L، إذا كانت قيم f(x) تقترب من L كلما اقتربت x من a.

2. قواعد حساب النهايات

نهاية مجموع: lim(f+g) = lim(f) + lim(g)
نهاية جداء: lim(f×g) = lim(f) × lim(g)
نهاية خارج: lim(f/g) = lim(f)/lim(g) إذا كانت lim(g)≠0

3. حالات عدم التعيين

الحالات الشائعة: ∞-∞, 0/0, ∞/∞, 0×∞. طرق المعالجة: تحليل العبارات وإزالة عوامل عدم التعيين.

4. أمثلة محلولة

مثال 1: lim(x→2) (3x^2 – 5x + 1). بالتعويض: 3×4-5×2+1=12-10+1=3.

مثال 2: lim(x→1) (x^2-1)/(x-1). حالة 0/0. نحلل: (x-1)(x+1)/(x-1)=x+1. النهاية = 1+1=2.

مثال 3: lim(x→∞) (2x^2+3x)/(x^2+1). نقسم البسط والمقام على x^2: (2+3/x)/(1+1/x^2). النهاية = 2/1 = 2.

5. تمارين

1. lim(x→3) (x^2-9)/(x-3).
2. lim(x→0) (sqrt(x+1)-1)/x.
3. lim(x→∞) (x^2-5x+6)/(2x^2+3x-1).