مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
النهايات: مفهومها وقواعد حسابها
النهاية (Limite) هي مفهوم أساسي في التحليل الرياضي يصف سلوك دالة عندما يقترب المتغير من قيمة معينة (أو عندما يؤول إلى ما لا نهاية). النهايات هي أساس الاشتقاق والتكامل.
مفهوم النهاية
نقول أن للدالة f نهاية L عندما يؤول x إلى a إذا كانت قيم f(x) تقترب من L كلما اقترب x من a نكتب:
limx→a f(x) = L
النهايات الأساسية
- limx→a c = c (ثابت)
- limx→a x = a
- limx→a xⁿ = aⁿ
- limx→±∞ 1/x = 0
- limx→±∞ 1/xⁿ = 0 (n > 0)
- limx→0 1/x = ±∞ (حسب الجهة)
قواعد حساب النهايات
- lim (f + g) = lim f + lim g
- lim (f × g) = lim f × lim g
- lim (f/g) = lim f / lim g (إذا كان lim g ≠ 0)
- lim (k×f) = k × lim f
حالات عدم التعيين (Formes Indéterminées)
هناك عدة حالات عدم تعيين: ∞/∞, 0/0, ∞ – ∞, 0×∞, وغيرها. لحل هذه الحالات نستخدم تقنيات خاصة:
- حالة ∞/∞ مع الدوال الكسرية: نأخذ الحد ذي الدرجة الأكبر بسطاً ومقاماً
- حالة 0/0: نحلل البسط والمقام إلى عوامل ثم نختزل
- حالة ∞ – ∞: نضرب في المرافق أو نحول إلى كسر
المثال: limx→∞ (3x² – 5x + 1)/(2x² + x + 4)
الحل: نأخذ x² كعامل مشترك: = lim (3 – 5/x + 1/x²)/(2 + 1/x + 4/x²) = 3/2
تمارين تطبيقية
التمرين 1: احسب: limx→∞ (2x³ – x + 5)/(5x³ + 3x² – 1)
التمرين 2: احسب: limx→2 (x² – 4)/(x – 2)
التمرين 3: بين أن limx→∞ (√(x+1) – √x) = 0
للمزيد من المعلومات، راجع الأعداد الحقيقية والدوال المثلثية.