مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الاشتقاق: مفهوم المشتقة وقواعد الحساب
الاشتقاق (Dérivation) هو فرع أساسي من فروع التحليل الرياضي. يدرس معدل تغير دالة عند نقطة معينة. المشتقة تمثل ميل المماس لمنحنى الدالة عند نقطة ما.
تعريف المشتقة
الدالة f قابلة للاشتقاق عند x₀ إذا كانت النهاية التالية موجودة ومنتهية:
f'(x₀) = limh→0 [f(x₀+h) – f(x₀)] / h
نسمي f'(x₀) العدد المشتق للدالة f عند x₀.
المشتقات الأساسية
- f(x) = c (ثابت) → f'(x) = 0
- f(x) = x → f'(x) = 1
- f(x) = xⁿ → f'(x) = n×xⁿ⁻¹
- f(x) = 1/x → f'(x) = -1/x²
- f(x) = √x → f'(x) = 1/(2√x)
قواعد الاشتقاق
- (u + v)’ = u’ + v’
- (k×u)’ = k×u’
- (u×v)’ = u’×v + u×v’
- (u/v)’ = (u’×v – u×v’)/v²
- (uⁿ)’ = n×u’×uⁿ⁻¹
التفسير الهندسي
f'(x₀) هو ميل المماس لمنحنى الدالة f عند النقطة (x₀, f(x₀)).
معادلة المماس: y = f'(x₀)(x – x₀) + f(x₀)
المثال: احسب مشتقة f(x) = 3x² + 2x – 5
الحل: f'(x) = 3×2x + 2 = 6x + 2
تمارين تطبيقية
التمرين 1: احسب مشتقات: أ) f(x)=5x³ – 2x² + 7 ب) g(x)=(2x+1)(x²-3)
التمرين 2: اكتب معادلة المماس لمنحنى f(x)=x² عند x₀=2.
التمرين 3: أحسب العدد المشتق للدالة f(x)=√x عند x₀=4.
للمزيد من المعلومات، راجع النهايات وقواعد حسابها والدوال المثلثية.