الجبر الخطي — الفضاءات المتجهة: الفضاء الجزئي والاستقلال الخطي والأساس — السنة الأولى جامعي — المنهاج الجزائري

مقدمة في الفضاءات المتجهة

الفضاء المتجهي هو بنية جبرية أساسية في الرياضيات تتكون من مجموعة من المتجهات مزودة بعمليتي الجمع والضرب بعدد حقيقي (أو مركب)، وتحقق مجموعة من البديهيات.

تعريف الفضاء المتجهي

الفضاء المتجهي V على حقل الأعداد الحقيقية R هو مجموعة مزودة بعمليتين: الجمع (u+v) والضرب بعدد (α·v) تحقق البديهيات التالية:

• الإغلاق تحت الجمع والضرب بعدد
• التجميع والتبديل في الجمع
• وجود العنصر المحايد (المتجه الصفري 0)
• وجود المعاكس الجمعي
• توزيعية الضرب بعدد على الجمع

الفضاء الجزئي

الفضاء الجزئي W للفضاء المتجهي V هو مجموعة جزئية من V تشكل فضاءً متجهياً بنفس العمليات. شرط كافٍ: W ≠ ∅، وإذا كان u,v ∈ W و α∈R فإن u+v ∈ W و α·u ∈ W.

الاستقلال الخطي والأساس

مجموعة متجهات {v₁, v₂, …, v_n} تكون مستقلة خطياً إذا كانت المعادلة α₁v₁ + α₂v₂ + … + α_nv_n = 0 تؤدي إلى α₁=α₂=…=α_n=0.

أساس الفضاء هو مجموعة مستقلة خطياً تولد الفضاء بأكمله. عدد عناصر الأساس يسمى بُعد الفضاء.

أمثلة تطبيقية

مثال: تحقق أن R² فضاء متجهي مع الجمع (x₁,y₁)+(x₂,y₂)=(x₁+x₂,y₁+y₂) والضرب α(x,y)=(αx,αy).

مثال: بين أن {(1,0), (0,1)} أساس لـ R² (يسمى الأساس القياسي).