الرياضيات — الدوال الأسية واللوغاريتمية: تعريفها وخصائصها — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الدوال الأسية واللوغاريتمية: تعريفها وخصائصها

الدوال الأسية واللوغاريتمية من أهم الدوال في الرياضيات والتطبيقات. تستخدم في النمو السكاني، التحلل الإشعاعي، الفوائد البنكية، وفي العديد من النماذج العلمية.

الدالة الأسية

الدالة الأسية للأساس e (العدد النيبيري): f(x) = eˣ، حيث e ≈ 2.718. خصائصها الأساسية:

• مجال التعريف: ℝ، مدى الدالة: ]0, +∞[.
• الدالة متزايدة تماماً على ℝ.
• e⁰ = 1، e¹ = e.
• e^(a+b) = e^a × e^b.
• المشتقة: (eˣ)” = eˣ.
• النهايات: lim(x→-∞) eˣ = 0، lim(x→+∞) eˣ = +∞.

الدالة اللوغاريتمية الطبيعية

الدالة اللوغاريتمية الطبيعية: f(x) = ln(x). هي الدالة العكسية للدالة الأسية:

• مجال التعريف: ]0, +∞[، المدى: ℝ.
• الدالة متزايدة تماماً.
• ln(1) = 0، ln(e) = 1.
• ln(a × b) = ln(a) + ln(b).
• ln(a/b) = ln(a) – ln(b).
• ln(aⁿ) = n × ln(a).
• المشتقة: (ln(x))” = 1/x.

العلاقة بين الدالتين

• e^(ln(x)) = x حيث x > 0.
• ln(eˣ) = x لكل x ∈ ℝ.
• حل المعادلة eˣ = a هو x = ln(a).
• حل المعادلة ln(x) = b هو x = eᵇ.

تمارين

للمزيد من الدروس حول الدوال، راجع درس الدوال: رتابة الدالة واتجاه التغير ودرس الاشتقاقية: تطبيقات المشتقة في دراسة الدوال.