الرياضيات — الهندسة التحليلية: المعادلات الوسيطية للدائرة والقطع الناقص — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الهندسة التحليلية: المعادلات الوسيطية للدائرة والقطع الناقص

الهندسة التحليلية تدمج بين الجبر والهندسة باستخدام نظام الإحداثيات. في هذا الدرس ندرس المعادلات الوسيطية (paramétriques) للدائرة والقطع الناقص.

معادلة الدائرة

دائرة مركزها O(0,0) ونصف قطرها R: x^2 + y^2 = R^2
دائرة مركزها C(a,b) ونصف قطرها R: (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2

التمثيل الوسيطي للدائرة

الدائرة ذات المركز O ونصف القطر R تكتب وسيطياً:
x(t) = R cos t
y(t) = R sin t
حيث t ∈ [0, 2π]

القطع الناقص (Ellipse)

القطع الناقص هو مجموعة النقط التي مجموع بعديها عن بؤرتين ثابتين يساوي قيمة ثابتة.
معادلته الديكارتية (مركزه O): x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
a: نصف المحور الأكبر، b: نصف المحور الأصغر.

التمثيل الوسيطي للقطع الناقص

x(t) = a cos t
y(t) = b sin t
حيث t ∈ [0, 2π]

مثال

القطع الناقص x^2/9 + y^2/4 = 1: a=3, b=2
تمثيله الوسيطي: x = 3cos t, y = 2sin t

تمارين

1. أوجد معادلة الدائرة التي مركزها (2,-3) ونصف قطرها 5.
2. اكتب التمثيل الوسيطي للقطع الناقص x^2/16 + y^2/9 = 1.
3. أوجد إحداثيات بؤرتي القطع الناقص x^2/25 + y^2/9 = 1.
4. بين أن x = 2 + 3cos t, y = -1 + 4sin t تمثل قطعاً ناقصاً. أوجد معادلته الديكارتية.
5. قمر صناعي يدور حول الأرض في مدار إهليلجي. إذا كان a=7000km و b=6800km، احسب المسافة بين البؤرتين.

للاستزادة، راجع درس الهندسة الفضائية في الفضاء ودرس الجداء السلمي.

📍 دروس مشابهة:

• الإعلام الآلي — التعامل الآمن مع البريد الإلكتروني — الأولى متوسط — المنهاج الجزائري
• امتحان شهادة التعليم الابتدائي 2019 في الرياضيات مع الحل — السنكيام — المنهاج الجزائري
• دروس الابتدائي — التخطيط للمستقبل المهني: اكتشف مواهبك — السنة الخامسة إبتدائي — المنهاج الجزائري