الرياضيات: النهايات – مفهوم النهاية وقواعد حسابها – 1 ثانوي (شعب علمية) – بكالوريا – المنهاج الجزائري

النهايات: مفهوم النهاية وقواعد حسابها

النهايات (Limites) هي مفهوم اساسي في التحليل الرياضي. تدرس سلوك دالة عندما يقترب المتغير x من قيمة معينة او عندما يؤول الى مالانهاية.

اولا: مفهوم النهاية

نهاية دالة عند نقطة: نقول ان نهاية f(x) لما x يؤول الى a هي L اذا كانت قيم f(x) تقترب من L كلما اقتربت x من a (من اليمين او اليسار).

نهاية دالة عند ما لا نهاية: نهاية f(x) لما x يؤول الى +∞ (او -∞) تصف سلوك الدالة عندما تاخذ x قيما كبيرة جدا.

ثانيا: قواعد حساب النهايات

1. نهاية دالة حدودية (كثيرة الحدود):
نهاية دالة حدودية عند +∞ او -∞ هي نهاية حدها الاكبر درجة.

مثال: lim(x² + 3x – 5) = +∞ عندما x → +∞

2. نهاية دالة ناطقة (نسبة كثيرتي حدود):
نهاية دالة ناطقة عند +∞ او -∞ هي نهاية نسبة الحدين الاكبر درجة في البسط والمقام.

مثال: lim((2x² + 1)/(x² – 3)) = 2 عندما x → +∞

3. العمليات على النهايات:
اذا كانت lim f(x) = L و lim g(x) = M فان:
– lim(f + g)(x) = L + M
– lim(f x g)(x) = L x M
– lim(f/g)(x) = L/M (اذا M ≠ 0)

مثال محلول:

احسب lim(3x² – 2x + 1) عندما x → +∞

الحل: نهاية دالة حدودية هي نهاية حدها الاكبر درجة: 3x² → +∞. اذن النهاية = +∞

مثال محلول 2:

احسب lim((x² + 1)/(2x² – 3)) عندما x → +∞

الحل: نقسم البسط والمقام على x²:
= lim((1 + 1/x²)/(2 – 3/x²)) = 1/2

تمارين تطبيقية

التمرين 1:

احسب النهايات التالية:
(أ) lim(2x³ – 5x + 1) لما x → -∞
(ب) lim(-x² + 3x – 2) لما x → +∞

التمرين 2:

احسب: lim((3x + 2)/(x – 1)) لما x → +∞

التمرين 3:

احسب: lim((x² + 2x)/(x² – 4)) لما x → 2

التمرين 4:

احسب: lim(√(x + 1) – √x) لما x → +∞ (تلميح: اضرب والبسط والمقام في المرافق)

للاستزادة، راجع درس الدوال العددية: مجموعة التعريف والتغيرات وكذلك درس المشتقة: تعريفها وقواعد الحساب مع تطبيقات.

? دروس مشابهة

• الرياضيات — قراءة وكتابة الأعداد حتى 999 — السنة الثانية إبتدائي — المنهاج الجزا
• الرياضيات — قسمة الأعداد العشرية: طريقة توسيع الأعداد — السنة الأولى متوسط —
• الرياضيات — الدوال المرجعية: الدالة مربع والدالة جذر تربيعي والدالة مقلوب — ال