الرياضيات: الجداء السلمي – تعريف وخصائص وتطبيقات – 1 ثانوي (شعب علمية) – بكالوريا – المنهاج الجزائري

الجداء السلمي: تعريف وخصائص وتطبيقات

الجداء السلمي (Produit scalaire) هو عملية رياضية بين متجهين تعطي كمية عددية (سلمية). يستخدم في الهندسة والفيزياء.

اولا: تعريف الجداء السلمي

ليكن u(x, y) و v(x, y) متجهين في المستوى. الجداء السلمي يرمز له بـ u.v ويعرف:

بالصيغة التحليلية: u.v = x₁x₂ + y₁y₂

بالصيغة الهندسية: u.v = ||u|| x ||v|| x cos(θ)

حيث θ هي الزاوية بين المتجهين u و v.

مثال:

u(3, 1) و v(2, -1): u.v = 3×2 + 1x(-1) = 6 – 1 = 5

ثانيا: خصائص الجداء السلمي

• u.v = v.u (ابدالية – Symetrique)
• u.(v + w) = u.v + u.w (توزيعية – Distributive)
• (ku).v = k(u.v) = u.(kv) (تجانس)
• u.u = ||u||² (مربع معيار المتجه)
• اذا كان u.v = 0 فان u و v متعامدان (Orthogonaux)

ثالثا: تطبيقات الجداء السلمي

حساب الزاوية بين متجهين: cos(θ) = (u.v) / (||u|| x ||v||)

حساب المسافة والطول: ||u|| = √(u.u)

شرط التعامد: u ⟂ v ⇔ u.v = 0

الاسقاط العمودي: مسقط u على v = (u.v / ||v||²) x v

مثال محلول:

احسب الزاوية بين u(1, √3) و v(1, 0).

الحل:
u.v = 1×1 + √3×0 = 1
||u|| = √(1 + 3) = 2, ||v|| = 1
cos(θ) = 1 / (2×1) = 1/2
θ = 60° = π/3 rad

تمارين تطبيقية

التمرين 1:

احسب u.v في الحالات التالية:
(أ) u(2, 3), v(-1, 4)
(ب) u(4, -2), v(3, 6)

التمرين 2:

بين ان u(2, 3) و v(-6, 4) متعامدان.

التمرين 3:

احسب الزاوية بين u(3, 4) و v(1, 2).

التمرين 4:

في مثلث ABC حيث A(1, 1), B(3, 5), C(6, 2)، احسب الزاوية A.

للاستزادة، راجع درس المرجح في المستوى: تعريف وخصائص وكذلك درس الحساب الشعاعي: جمع وطرح المتجهات وعلاقة شال.

? دروس مشابهة

• الرياضيات — جمع الأعداد حتى 999: أمثلة — السنة الثانية إبتدائي — المنهاج الجزائر
• الرياضيات — مضاعفات الأعداد: إيجادها — السنة الرابعة إبتدائي — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — المتتاليات العددية: تقارب المتتاليات وحساب النهايات — الثانية ثانو