الرياضيات — قوانين الإحصاء الأساسية: مقاييس التشتت والارتباط — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

قوانين الإحصاء الأساسية: مقاييس التشتت والارتباط

الإحصاء فرع مهم من الرياضيات يهتم بجمع البيانات وتحليلها وتفسيرها. هذا الدرس يغطي أهم قوانين الإحصاء الأساسية التي يحتاجها تلاميذ السنة الثانية ثانوي (شعب علمية) لفهم مقاييس التشتت والارتباط بين المتغيرات.

أولا: مقاييس النزعة المركزية

الوسط الحسابي (Mean): x̄ = (∑xᵢ)/n
الوسيط (Median): القيمة الوسطى بعد ترتيب البيانات تصاعديا.
المنوال (Mode): القيمة الأكثر تكرارا في البيانات.

مثال 1: احسب الوسط الحسابي للبيانات: 5, 7, 8, 10, 12, 15, 18.
الحل: x̄ = (5+7+8+10+12+15+18)/7 = 75/7 ≈ 10.71

ثانيا: مقاييس التشتت

المدى (Range): R = x_max – x_min
التباين (Variance): σ² = ∑(xᵢ – x̄)²/n (لمجتمع) أو S² = ∑(xᵢ – x̄)²/(n-1) (لعينة)
الانحراف المعياري (Standard Deviation): σ = √σ² (يقيس مدى تشتت البيانات حول الوسط الحسابي)
معامل الاختلاف (CV): CV = σ/x̄ × 100% (لمقارنة تشتت مجموعات مختلفة)

مثال 2: احسب التباين والانحراف المعياري للبيانات: 2, 4, 6, 8, 10.
الحل: x̄ = 6. σ² = (16+4+0+4+16)/5 = 8. σ = √8 ≈ 2.83

ثالثا: مقاييس الارتباط (معامل ارتباط بيرسون)

معامل ارتباط بيرسون (r) يقيس قوة واتجاه العلاقة الخطية بين متغيرين:
r = (n∑xy – ∑x∑y) / √[(n∑x² – (∑x)²)(n∑y² – (∑y)²)]

حيث:
– r = 1: ارتباط طردي تام
– r = -1: ارتباط عكسي تام
– r ≈ 0: لا يوجد ارتباط خطي

رابعا: المدرج التكراري والتوزيع

التكرار المطلق: عدد مرات ظهور القيمة.
التكرار النسبي: fᵢ = nᵢ/n (نسبة التكرار).
التكرار المتجمع: مجموع التكرارات حتى فئة معينة.

خامسا: قانون الاحتمالات الأساسي

الاحتمال = عدد الحالات المواتية / عدد الحالات الممكنة
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(A|B) = P(A∩B)/P(B) (الاحتمال الشرطي)

أمثلة إضافية

مثال 3: في دراسة لـ 10 طلاب، كانت الدرجات: 12, 15, 8, 16, 14, 10, 18, 13, 11, 9. احسب الانحراف المعياري.
الحل: x̄ = 126/10 = 12.6. σ² = (0.36+5.76+21.16+11.56+1.96+6.76+29.16+0.16+2.56+12.96)/10 = 92.4/10 = 9.24. σ = √9.24 ≈ 3.04

مثال 4 (الارتباط): الجدول التالي يبين عدد ساعات الدراسة (x) والدرجة (y) لـ 5 طلاب. احسب معامل الارتباط.
x: 1, 2, 3, 4, 5
y: 40, 50, 60, 70, 80
الحل: r = (5×1100-15×300)/√[(5×55-225)(5×25500-90000)] = 1000/√(50×37500) = 1000/√1875000 ≈ 0.73

تمارين تطبيقية

1. احسب الوسط الحسابي والوسيط والمنوال للبيانات: 3, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 12, 15.
2. أوجد التباين والانحراف المعياري للبيانات في السؤال 1.
3. فئتان: الأولى متوسطها 70 بانحراف معياري 5، الثانية متوسطها 50 بانحراف معياري 4. أيهما أكثر تجانسا؟
4. في دراسة: x: 1, 2, 3, 4, 6 و y: 2, 4, 5, 7, 10. احسب معامل ارتباط بيرسون.
5. إذا كان P(A)=0.6, P(B)=0.3, P(A∩B)=0.2، احسب P(A∪B) و P(A|B).

خلاصة

قوانين الإحصاء الأساسية تساعد في تحليل البيانات واستخلاص النتائج العلمية. مقاييس التشتت تقيس مدى انتشار البيانات، بينما معامل الارتباط يحدد قوة العلاقة بين المتغيرات. هذه المفاهيم أساسية في البحث العلمي.

دروس مشابهة

• الإحصاء: التوزيع الطبيعي (منحنى غاوس)
• الاحتمالات: تجارب برنولي والقانون ذو الحدين