الرياضيات — تمارين شاملة في الاشتقاق والتكامل — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

تمارين شاملة في الاشتقاق والتكامل

الاشتقاق والتكامل فرعان أساسيان من التحليل الرياضي. هذا الدرس يقدم تمارين شاملة في الاشتقاق والتكامل مع تطبيقات متنوعة للبكالوريا.

أولا: قواعد الاشتقاق الأساسية

مشتقات الدوال الأساسية:
f(x)=k → f'(x)=0 | f(x)=x^n → f'(x)=nx^(n-1) | f(x)=sin x → f'(x)=cos x
f(x)=cos x → f'(x)=-sin x | f(x)=ln x → f'(x)=1/x | f(x)=e^x → f'(x)=e^x

قواعد الاشتقاق:
(f+g)’ = f’+g’ | (f×g)’ = f’g+fg’ | (f/g)’ = (f’g-fg’)/g^2 | (f∘g)’ = f'(g)×g’

مثال 1: احسب مشتقة f(x) = (2x^2+3x-1)^5.
الحل: f'(x) = 5(2x^2+3x-1)^4 × (4x+3).

ثانيا: تطبيقات الاشتقاق

معادلة المماس: y = f(a) + f'(a)(x-a).
رتابة الدالة: f'(x)≥0 → f متزايدة. f'(x)≤0 → f متناقصة.
القيم القصوى: f'(x)=0 وإشارة f’ تتغير → نقطة قصوى أو دنيا.

مثال 2: ادرس تغيرات f(x)=x^3-3x^2+1.
الحل: f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2). f'(x)=0 → x=0 أو x=2. f متزايدة على ]-∞,0] و [2,∞[، متناقصة على [0,2]. f(0)=1 (قيمة قصوى محلية)، f(2)=-3 (قيمة دنيا محلية).

ثالثا: الدوال الأصلية والتكامل

الدوال الأصلية الأساسية:
∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1)+C | ∫1/x dx = ln|x|+C | ∫e^x dx = e^x+C
∫sin x dx = -cos x+C | ∫cos x dx = sin x+C | ∫1/(1+x^2) dx = arctan x+C

التكامل المحدد: ∫_a^b f(x)dx = F(b)-F(a).
طرق التكامل: التكامل بالتحليل، التعويض، التكامل بالتجزئة (∫udv = uv – ∫vdu).

مثال 3: احسب ∫_0^π x sin x dx.
الحل: باستخدام التكامل بالتجزئة: u=x, dv=sin x dx → du=dx, v=-cos x. ∫x sin x = -x cos x + ∫cos x dx = -x cos x + sin x. من 0 إلى π: (-π cos π + sin π) – (0+0) = -π(-1)+0 = π.

رابعا: تطبيقات التكامل

المساحة بين منحنيين: A = ∫_a^b |f(x)-g(x)| dx
حجم جسم دوراني: V = π ∫_a^b [f(x)]^2 dx

مثال 4: احسب المساحة المحصورة بين f(x)=x^2 و g(x)=x من x=0 إلى x=1.
الحل: A = ∫_0^1 (x-x^2)dx = [x^2/2-x^3/3]_0^1 = 1/2-1/3 = 1/6.

تمارين شاملة

1. احسب مشتقة: f(x)=ln(3x^2-2x+1)، f(x)=e^(sin x).
2. ادرس تغيرات الدالة f(x)=x^4-4x^3+4x^2 ثم ارسم منحناها.
3. أوجد معادلة المماس لمنحنى f(x)=√(x+1) عند x=3.
4. احسب التكاملات: ∫(3x^2-2x+5)dx، ∫_1^2 (2x-1)^3dx، ∫_0^(π/2) sin^2 x dx.
5. احسب المساحة المحصورة بين f(x)=x^2-4x+3 والمحور x.
6. باستخدام التكامل بالتجزئة، احسب ∫_0^1 x e^x dx.

خلاصة

الاشتقاق والتكامل وجهان لعملة واحدة. إتقان قواعد الاشتقاق يساعد في إيجاد الدوال الأصلية، والتكامل يستخدم لحساب المساحات والحجوم. هذه المفاهيم أساسية في الرياضيات والفيزياء والهندسة.

دروس مشابهة

• الدوال الأصلية: تطبيقات في حساب المساحات
• تطبيقات الاشتقاق: المماس والمقارب