مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
تمارين شاملة في الاشتقاق والتكامل
الاشتقاق والتكامل فرعان أساسيان من التحليل الرياضي. هذا الدرس يقدم تمارين شاملة في الاشتقاق والتكامل مع تطبيقات متنوعة للبكالوريا.
أولا: قواعد الاشتقاق الأساسية
مشتقات الدوال الأساسية:
f(x)=k → f'(x)=0 | f(x)=x^n → f'(x)=nx^(n-1) | f(x)=sin x → f'(x)=cos x
f(x)=cos x → f'(x)=-sin x | f(x)=ln x → f'(x)=1/x | f(x)=e^x → f'(x)=e^x
قواعد الاشتقاق:
(f+g)’ = f’+g’ | (f×g)’ = f’g+fg’ | (f/g)’ = (f’g-fg’)/g^2 | (f∘g)’ = f'(g)×g’
مثال 1: احسب مشتقة f(x) = (2x^2+3x-1)^5.
الحل: f'(x) = 5(2x^2+3x-1)^4 × (4x+3).
ثانيا: تطبيقات الاشتقاق
معادلة المماس: y = f(a) + f'(a)(x-a).
رتابة الدالة: f'(x)≥0 → f متزايدة. f'(x)≤0 → f متناقصة.
القيم القصوى: f'(x)=0 وإشارة f’ تتغير → نقطة قصوى أو دنيا.
مثال 2: ادرس تغيرات f(x)=x^3-3x^2+1.
الحل: f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2). f'(x)=0 → x=0 أو x=2. f متزايدة على ]-∞,0] و [2,∞[، متناقصة على [0,2]. f(0)=1 (قيمة قصوى محلية)، f(2)=-3 (قيمة دنيا محلية).
ثالثا: الدوال الأصلية والتكامل
الدوال الأصلية الأساسية:
∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1)+C | ∫1/x dx = ln|x|+C | ∫e^x dx = e^x+C
∫sin x dx = -cos x+C | ∫cos x dx = sin x+C | ∫1/(1+x^2) dx = arctan x+C
التكامل المحدد: ∫_a^b f(x)dx = F(b)-F(a).
طرق التكامل: التكامل بالتحليل، التعويض، التكامل بالتجزئة (∫udv = uv – ∫vdu).
مثال 3: احسب ∫_0^π x sin x dx.
الحل: باستخدام التكامل بالتجزئة: u=x, dv=sin x dx → du=dx, v=-cos x. ∫x sin x = -x cos x + ∫cos x dx = -x cos x + sin x. من 0 إلى π: (-π cos π + sin π) – (0+0) = -π(-1)+0 = π.
رابعا: تطبيقات التكامل
المساحة بين منحنيين: A = ∫_a^b |f(x)-g(x)| dx
حجم جسم دوراني: V = π ∫_a^b [f(x)]^2 dx
مثال 4: احسب المساحة المحصورة بين f(x)=x^2 و g(x)=x من x=0 إلى x=1.
الحل: A = ∫_0^1 (x-x^2)dx = [x^2/2-x^3/3]_0^1 = 1/2-1/3 = 1/6.
تمارين شاملة
- احسب مشتقة: f(x)=ln(3x^2-2x+1)، f(x)=e^(sin x).
- ادرس تغيرات الدالة f(x)=x^4-4x^3+4x^2 ثم ارسم منحناها.
- أوجد معادلة المماس لمنحنى f(x)=√(x+1) عند x=3.
- احسب التكاملات: ∫(3x^2-2x+5)dx، ∫_1^2 (2x-1)^3dx، ∫_0^(π/2) sin^2 x dx.
- احسب المساحة المحصورة بين f(x)=x^2-4x+3 والمحور x.
- باستخدام التكامل بالتجزئة، احسب ∫_0^1 x e^x dx.
خلاصة
الاشتقاق والتكامل وجهان لعملة واحدة. إتقان قواعد الاشتقاق يساعد في إيجاد الدوال الأصلية، والتكامل يستخدم لحساب المساحات والحجوم. هذه المفاهيم أساسية في الرياضيات والفيزياء والهندسة.
