الرياضيات — الاحتمالات: قوانين الاحتمال — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري

الاحتمالات: قوانين الاحتمال

الاحتمالات هي فرع من الرياضيات يدرس الظواهر العشوائية والأحداث غير المؤكدة. تستخدم الاحتمالات في مجالات عديدة مثل الإحصاء والفيزياء والاقتصاد وعلوم الحاسوب.

المفاهيم الأساسية

• التجربة العشوائية: تجربة يمكن تكرارها بنفس الشروط ولا يمكن التنبؤ بنتيجتها مسبقاً
• فضاء العينة (Ω): مجموعة جميع النتائج الممكنة
• الحدث: مجموعة جزئية من Ω
• الحدث العنصري: حدث يتكون من نتيجة واحدة

تعريف الاحتمال

احتمال وقوع حدث A هو عدد حقيقي بين 0 و 1 يعبر عن درجة احتمال وقوعه. يكتب P(A) ويحقق:

• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(Ω) = 1 و P(∅) = 0
• إذا كان A و B حدثين غير متلازمين، فإن P(A∪B) = P(A) + P(B)

قوانين الاحتمال الهامة

• الاحتمال المنتظم: إذا كانت جميع النتائج متساوية الاحتمال، فـ P(A) = card(A)/card(Ω)
• الحدث المتمم: P(Ā) = 1 − P(A)
• اتحاد حدثين: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
• الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A∩B)/P(B) حيث P(B) ≠ 0
• حدثان مستقلان: P(A∩B) = P(A) × P(B)

قانون الاحتمال الكلي وبييز

قانون الاحتمال الكلي: إذا كانت {A₁, A₂, …, Aₙ} تقسيماً لـ Ω، فإن P(B) = Σ P(Aᵢ) × P(B|Aᵢ)

قانون بييز: P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ) × P(B|Aᵢ) / P(B)

مثال تطبيقي

تمارين

1. يلقي شخص حجري نرد متمايزين. ما احتمال الحصول على مجموع 7؟
2. صندوق فيه 4 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء. نسحب كرتين مع الإرجاع. احسب احتمال سحب كرتين بيضاوين.
3. إذا كان P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, P(A∩B) = 0.2، احسب P(A∪B) و P(A|B).
4. اختبر استقلالية الحدثين A و B في السؤال السابق.

للمزيد من المعلومات، راجع درس الإحصاء: التمثيل بالأعمدة والمخططات ودرس المعادلات والمتراجحات.

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — التفاضل: تطبيقات اقتصادية وفيزيائية — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — الأعداد العقدية: تمثيل وعمليات — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري