الرياضيات — المتتاليات العددية: تعريف ورتابة وتقارب — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المتتاليات العددية: تعريف ورتابة وتقارب

المستوى: الثالثة ثانوي (شعب علمية)

1. تعريف المتتالية

المتتالية العددية (uₙ) هي دالة معرفة من N (أو جزء من N) نحو R. نكتب uₙ=f(n).

2. أنواع المتتاليات

المتتالية الحسابية:

uₙ₊₁=uₙ+r (r هو الأساس). uₙ=u₀+n·r. Sₙ=(n+1)(u₀+uₙ)/2

مثال: 2, 5, 8, 11, … هي متتالية حسابية أساسها r=3

المتتالية الهندسية:

uₙ₊₁=uₙ·q (q هو الأساس). uₙ=u₀·qⁿ. Sₙ=u₀·(1-qⁿ⁺¹)/(1-q) لـ q≠1

مثال: 3, 6, 12, 24, … هي متتالية هندسية أساسها q=2

3. رتابة المتتالية

• تزايدية: uₙ₊₁ > uₙ (أو uₙ₊₁-uₙ > 0)
• تناقصية: uₙ₊₁ < uₙ (أو uₙ₊₁-uₙ < 0)
• ثابتة: uₙ₊₁=uₙ

4. تقارب المتتالية

المتتالية uₙ تتقارب نحو L (نهاية منتهية) إذا كانت lim_n→∞ uₙ=L.

المتتالية الحسابية تتقارب فقط إذا كان r=0. المتتالية الهندسية تتقارب نحو 0 إذا كان |q|<1.

تمارين تطبيقية

التمرين 1: uₙ=3n-2. هل هي حسابية؟ حدد أساسها.

التمرين 2: vₙ=2·3ⁿ. هل هي هندسية؟ حدد أساسها.

التمرين 3: ادرس تقارب wₙ=(1/2)ⁿ.

الحلول:

حل 1: uₙ₊₁-uₙ=3(n+1)-2-(3n-2)=3 → حسابية أساسها r=3

حل 2: vₙ₊₁/vₙ=3 → هندسية أساسها q=3

حل 3: lim wₙ=0 لأن |q|=1/2<1

للمزيد من الدروس، راجع درس المتتاليات ودرس دراسة الدوال.