الرياضيات — البرهان بالترجع: مبدأ الاستقراء الرياضي — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

البرهان بالترجع: مبدأ الاستقراء الرياضي

المستوى: الثانية ثانوي (شعب علمية)

1. مبدأ البرهان بالترجع

البرهان بالترجع (الاستقراء الرياضي) هو طريقة لإثبات أن عبارة P(n) صحيحة لكل n∈N. يتكون من خطوتين:

• الخطوة الأولى (أساس الترجع): نثبت أن P(0) أو P(1) صحيحة.
• الخطوة الثانية (فرضية الترجع): نفترض أن P(k) صحيحة (k∈N) ونثبت أن P(k+1) صحيحة.

إذا تحققت الخطوتان، فإن P(n) صحيحة لكل n∈N.

2. أمثلة تطبيقية

مثال 1: أثبت أن 1+2+3+…+n = n(n+1)/2 لكل n≥1

التحقق: n=1: 1 = 1(1+1)/2 = 1 ✓

الفرض: 1+2+…+k = k(k+1)/2

الإثبات: 1+2+…+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k/2+1) = (k+1)(k+2)/2 ✓

مثال 2: أثبت أن 3ⁿ-1 يقبل القسمة على 2 لكل n∈N

n=1: 3¹-1=2 يقبل القسمة على 2 ✓

نفترض 3ᵏ-1=2m. إذن 3ᵏ⁺¹-1=3·3ᵏ-1=3(2m+1)-1=6m+2=2(3m+1) يقبل القسمة على 2 ✓

تمارين

التمرين 1: أثبت بالترجع أن 1²+2²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/6

التمرين 2: أثبت أن 7ⁿ-1 يقبل القسمة على 6 لكل n∈N

الحلول:

حل 1: n=1: 1=1·2·3/6=1. فرضية: المجموع لـ k. نثبت لـ k+1: نضيف (k+1)² للطرفين…

حل 2: n=1: 7-1=6 يقبل القسمة على 6. 7ᵏ⁺¹-1=7(7ᵏ-1)+(7-1)=7·6m+6=6(7m+1) ✓

للمزيد: راجع درس المتتاليات ودرس دراسة الدوال.