الرياضيات — قانون الجيوب في المثلث: العلاقة بين الأضلاع والزوايا — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

قانون الجيوب (Law of Sines) هو أحد القوانين الأساسية في حساب المثلثات، ويُستخدم لإيجاد العلاقة بين أضلاع المثلث وجيوب الزوايا المقابلة لها. هذا القانون مهم جداً لحل المثلثات غير القائمة.

1. نص قانون الجيوب

في أي مثلث ABC، تكون النسبة بين طول ضلع وجيب الزاوية المقابلة له ثابتة:

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R

حيث:

• a, b, c: أطوال الأضلاع المقابلة للزوايا A, B, C على الترتيب
• sin(A), sin(B), sin(C): جيوب الزوايا A, B, C
• R: نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث

2. حالات استخدام قانون الجيوب

يستخدم قانون الجيوب في حالتين رئيسيتين:

الحالة الأولى: عندما نعلم زاويتين وضلعاً (حالة زاويتان وضلع). نوجد الزاوية الثالثة (مجموع زوايا المثلث 180°)، ثم نوجد الأضلاع المجهولة.

الحالة الثانية: عندما نعلم ضلعين وزاوية غير محصورة بينهما (حالة ضلعان وزاوية). قد تؤدي هذه الحالة إلى مثلث واحد أو مثلثين أو لا شيء (الحالة المبهمة).

3. مثال تطبيقي 1: حالة زاويتان وضلع

مثلث ABC فيه: A = 40°, B = 60°, a = 10 cm. احسب C, b, c.

الحل:
C = 180° – (40° + 60°) = 80°
باستخدام قانون الجيوب: 10 / sin(40°) = b / sin(60°) = c / sin(80°)
b = 10 × sin(60°) / sin(40°) = 10 × 0.866 / 0.643 ≈ 13.47 cm
c = 10 × sin(80°) / sin(40°) = 10 × 0.985 / 0.643 ≈ 15.32 cm

4. مثال بكالوريا

بكالوريا 2021 (شعبة علوم تجريبية): في مثلث ABC، لدينا: AB = 8 cm, AC = 6 cm, الزاوية A = 30°. احسب طول BC ثم مساحة المثلث.

الحل:
نستخدم قانون الجيوب: BC / sin(30°) = 8 / sin(C) = 6 / sin(B)
من 8 / sin(C) = 6 / sin(B) و B + C = 150°:
sin(C)/8 = sin(150°-C)/6
6 sin(C) = 8 sin(150°-C)
6 sin(C) = 8(sin150° cosC – cos150° sinC)
6 sin(C) = 8(0.5 cosC + 0.866 sinC)
6 sin(C) = 4 cosC + 6.928 sinC
-0.928 sinC = 4 cosC
tanC = -4.31 → C ≈ 103°
B = 150° – 103° = 47°
BC = 8 × sin(30°) / sin(103°) = 8 × 0.5 / 0.974 ≈ 4.11 cm
المساحة = 0.5 × 8 × 6 × sin(30°) = 0.5 × 48 × 0.5 = 12 cm²

5. العلاقة بنصف قطر الدائرة المحيطة

من قانون الجيوب: a / sin(A) = 2R، أي أن R = a / (2 sin(A)).

يمكن استخدام هذه العلاقة لإيجاد نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث إذا علم ضلع والزاوية المقابلة له.

6. تمارين إضافية

تمرين 1: في مثلث ABC، A = 45°, B = 75°, a = 12. احسب b و c و R.

تمرين 2: حدد ما إذا كان المثلث الذي أضلاعه a=7, b=8 والزاوية A=35° له حل واحد أو حلان أو لا حل.