الرياضيات — جبريّة المصفوفات: جمع وضرب — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المصفوفات هي جداول أعداد تستخدم في حل جمل المعادلات الخطية وفي العديد من التطبيقات العلمية.

1. تعريف المصفوفة

المصفوفة A من النوع (m x n) هي جدول مستطيل من الأعداد مرتب في m سطر و n عمود. A[i][j] هو العنصر في السطر i والعمود j.

2. جمع وطرح المصفوفات

يمكن جمع مصفوفتين من نفس النوع (نفس عدد الأسطر والأعمدة) بجمع العناصر المتناظرة.

مثال: A + B = C حيث C[i][j] = A[i][j] + B[i][j].

3. ضرب مصفوفة في عدد

k.A = (k x A[i][j]) لكل i, j.

4. ضرب مصفوفتين

ضرب A(m x n) في B(n x p) يعطي C(m x p): C[i][j] = sum_{k=1}^{n} A[i][k] x B[k][j].

ملاحظة: ضرب المصفوفات ليس تبديلياً: A.B != B.A في معظم الحالات.

5. المصفوفة المحايدة والمعكوسة

المصفوفة المحايدة I هي مصفوفة مربعة (n x n) فيها 1 على القطر الرئيسي و 0 في باقي العناصر.

المصفوفة المعكوسة A^{-1} تحقق: A.A^{-1} = A^{-1}.A = I.

6. مثال بكالوريا

بكالوريا 2021 (شعبة علوم تجريبية): A = [[1, 2], [3, 4]] و B = [[5, 6], [7, 8]]. احسب A + B و A.B.

الحل:
A+B = [[1+5, 2+6], [3+7, 4+8]] = [[6, 8], [10, 12]].

A.B = [[1×5+2×7, 1×6+2×8], [3×5+4×7, 3×6+4×8]] = [[5+14, 6+16], [15+28, 18+32]] = [[19, 22], [43, 50]].