الرياضيات — البرهان بالترجع: مبدأ الاستقراء الرياضي — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

البرهان بالترجع (الاستقراء الرياضي) طريقة برهان قوية تستخدم لإثبات صحة خاصية لكل الأعداد الطبيعية.

1. مبدأ الاستقراء الرياضي

لإثبات أن خاصية P(n) صحيحة لكل n in N (أو n >= n0):

• الخطوة 1 (الأساس): نثبت P(0) (أو P(n0)) صحيحة.
• الخطوة 2 (الفرضية): نفترض P(k) صحيحة (k >= n0).
• الخطوة 3 (الانتقال): نثبت أن P(k) => P(k+1) صحيحة.

عندها نستنتج أن P(n) صحيحة لكل n >= n0.

2. مثال 1: مجموع الأعداد

نبرهن أن S(n) = 0 + 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 لكل n >= 0.

الأساس: n=0: S(0) = 0 = 0(0+1)/2 = 0. صحيح.

الفرضية: نفترض S(k) = k(k+1)/2 صحيحة.

الانتقال: S(k+1) = S(k) + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k/2 + 1) = (k+1)(k+2)/2. إذن P(k+1) صحيحة.

3. مثال 2: متتاليات

نعتبر المتتالية u_n المعرفة بـ u_0 = 1 و u_{n+1} = 2u_n + 1. نبرهن أن u_n = 2^{n+1} – 1.

الأساس: n=0: u_0 = 2^{1} – 1 = 1. صحيح.

الفرضية: u_k = 2^{k+1} – 1.

الانتقال: u_{k+1} = 2u_k + 1 = 2(2^{k+1} – 1) + 1 = 2^{k+2} – 2 + 1 = 2^{k+2} – 1. صحيح.

4. مثال بكالوريا

بكالوريا 2020 (شعبة علوم تجريبية): نبرهن بالترجع أن 2^n > n لكل n >= 0.

الحل: الأساس: n=0: 2^0 = 1 > 0. صحيح. الفرضية: 2^k > k. الانتقال: 2^{k+1} = 2.2^k > 2k = k + k >= k + 1 (لأن k >= 1). إذن 2^{k+1} > k+1. صحيح لكل n >= 0.