الرياضيات — المعادلات التفاضلية: من الدرجة الأولى — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المعادلات التفاضلية معادلات تربط الدالة ومشتقاتها. تستخدم في النمذجة الرياضية للظواهر الفيزيائية والبيولوجية والاقتصادية.

1. تعريف المعادلة التفاضلية

معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى هي معادلة تربط الدالة y = f(x) ومشتقتها y’. الشكل العام: y’ = F(x, y) أو بشكل ضمني: F(x, y, y’) = 0.

2. المعادلة y’ = ay + b

حل المعادلة التفاضلية y’ = a.y + b حيث a != 0: y(x) = C.e^{ax} – b/a حيث C ثابت حقيقي.

إذا أعطيت الشرط البدائي y(x0) = y0، يمكن إيجاد قيمة C.

مثال: y’ = 2y + 3. الحل العام: y(x) = C.e^{2x} – 3/2.

3. المعادلة y’ = a.y

هذه حالة خاصة (b = 0). الحل العام: y(x) = C.e^{ax}.

4. تطبيقات فيزيائية مهمة

التفكك الإشعاعي: N'(t) = -l.N(t) حيث l ثابت التفكك. الحل: N(t) = N0.e^{-l.t}. هذا القانون يصف تناقص كمية المادة المشعة مع الزمن.

قانون نيوتن في التبريد: T'(t) = -k.(T(t) – Ta) حيث Ta درجة حرارة الوسط المحيط و k ثابت موجب.

دائرة RC: في دائرة كهربائية تحتوي على مقاومة R ومكثف C، التوتر بين طرفي المكثف يحقق: RC.u’ + u = E.

5. طريقة الحل العام

لحل y’ = a.y + b:

• نوجد حلاً خاصاً: y0 = -b/a (ثابت).
• نحل المعادلة المتجانسة: y’ = a.y وحلها: yH = C.e^{ax}.
• الحل العام: y = yH + y0 = C.e^{ax} – b/a.

6. مثال بكالوريا

بكالوريا 2022 (شعبة علوم تجريبية): حل المعادلة التفاضلية y’ = -2y + 4 مع الشرط y(0) = 1.

الحل: الحل العام: y(x) = C.e^{-2x} + 2 (حيث a = -2, b = 4, -b/a = 2). الشرط البدائي: y(0) = C.e^{0} + 2 = C + 2 = 1 إذن C = -1. إذن الحل الخاص: y(x) = -e^{-2x} + 2 = 2 – e^{-2x}.

7. تمارين إضافية

تمرين 1: حل y’ = 3y – 6 مع y(0) = 5.

تمرين 2: في تجربة تفكك إشعاعي، كان N0 = 1000 نواة و l = 0.05. احسب N(t) بعد 10 ثوان.