الرياضيات — المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: تمارين بكالوريا — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

درس في الرياضيات مخصص لتلاميذ السنة الثالثة ثانوي حول المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى. المحتوى يتبع المنهاج الرسمي الجزائري ويساعد في التحضير للبكالوريا من خلال أمثلة محلولة.

المحتوى النظري

المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى تكتب على الشكل: y’ = f(x, y). أهم أنواعها: المعادلات ذات المتغيرات المنفصلة، المعادلات الخطية.

المعادلة الخطية: y’ + a(x)y = b(x).

طريقة الحل: نوجد عامل التكامل m(x) = e∫a(x)dx. ثم y = (1/m(x))∫m(x)b(x)dx.

القواعد الأساسية

1. المعادلة y’ = ky: الحل y = Cekx.

2. المعادلة y’ = ay + b: الحل y = C.eax – b/a.

3. الشرط البدئي يحدد قيمة الثابت C.

4. تطبيقات فيزيائية: التحلل الإشعاعي، النمو السكاني، شحن المكثفة.

تمارين بكالوريا

تمرين 1 (بكالوريا 2023):

حل المعادلة التفاضلية: y’ + 2y = 6 مع الشرط y(0) = 1.

الحل: a = 2, b = 6. الحل العام: y = Ce-2x + 3. y(0) = C + 3 = 1 يرجع إلى C = -2. y = -2e-2x + 3.

تمرين 2 (بكالوريا 2024):

المعادلة y’ = 0.5y تمثل نمو بكتيريا. إذا كان العدد الابتدائي 1000 بكتيريا، أحسب العدد بعد 10 ساعات.

الحل: y = 1000e0.5x. في t = 10: y = 1000e5 = 1000 x 148.4 = 148400 بكتيريا تقريبا.

دروس مشابهة

• المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى
• الرياضيات — الاحتمالات: المتغير العشوائي وقانون الاحتمال