المتتاليات – البرهان بالترجع والمتتاليات المرفقة – السنة الثالثة ثانوي (شعب علمية) – الرياضيات – المنهاج الجزائري

مقدمة

في هذا الدرس من دروس الثانوي (شعب علمية)، نتناول موضوع “المتتاليات – البرهان بالترجع والمتتاليات المرفقة – السنة الثالثة ثانوي (شعب علمية) – الرياضيات – المنهاج الجزائري” وفق المنهاج الجزائري للتعليم الثانوي. هذا الدرس موجه لتلاميذ الشعب العلمية (علوم تجريبية، رياضيات، تقني رياضي) الذين يستعدون لاجتياز امتحان شهادة البكالوريا.

البرهان بالترجع

البرهان بالترجع (الاستقراء التام) يتكون من ثلاث خطوات: الأساس (نثبت أن العبارة صحيحة لـ n = 0 أو لأول قيمة)، فرضية الترجع (نفترض صحة العبارة لـ n)، خطوة الترجع (نثبت أنها صحيحة لـ n+1). هذه الطريقة فعالة لإثبات علاقات تتعلق بالأعداد الطبيعية مثل المتطابقات والمتراجحات وخصائص المتتاليات.

دراسة متتاليات مركبة

المتتاليات المرفقة Un+1 = f(Un) تدرس من خلال دراسة الدالة f. إذا كانت f متزايدة، فإن رتابة (Un) تحدد بقيمة U0 و U1. إذا كانت f متناقصة، فإن المتتاليتين (U2n) و (U2n+1) تكونان رتيبتين (واحدة متزايدة والأخرى متناقصة). النقطة الثابتة L = f(L) هي النهاية المحتملة.

المتتاليات الخاصة

المتتاليات الحسابية: Un = U0 + nr، حيث r أساس المتتالية. المتتاليات الهندسية: Un = U0 × q^n، حيث q الأساس. المتتاليات الحسابية-الهندسية: Un+1 = aUn + b. لحلها، نبحث عن النقطة الثابتة L = aL + b، ثم نضع Vn = Un – L فتصبح Vn هندسية.

أمثلة من امتحانات البكالوريا

مثال 1: بكالوريا 2024: برهن بالترجع أنه من أجل كل n طبيعي: 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2.

مثال 2: بكالوريا 2023: لتكن (Un) معرفة بـ U0 = 2 و Un+1 = 2Un – 1. بين أن (Un) متزايدة ثم أحسب Un بدلالة n.

مثال 3: بكالوريا 2022: لتكن (Un) معرفة بـ U0 = 1 و Un+1 = (Un + 2)/(Un + 3). ادرس تقارب (Un) باستخدام نظرية النقطة الثابتة.

خلاصة

نخلص مما سبق أن إتقان هذا الدرس يتطلب فهماً عميقاً للمفاهيم الأساسية وحل تمارين متنوعة. ننصح التلاميذ بمراجعة تمارين البكالوريا السابقة والتدرب على حل المسائل بأنفسهم. يمكنكم تحميل تمارين إضافية ومواضيع بكالوريا مع الحلول من موقعنا dz-onec.com.

📍 دروس مشابهة

• العمليات على الأعداد النسبية — ترتيب ومقارنة — الرياضيات — السنة الثانية متوسط —
• الرياضيات — التصنيف والتنظيم (تصنيف الأشياء حسب اللون والشكل والحجم) — السنة الأ
• الكتابة العلمية — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط