الأعداد المركبة – الشكل المثلثي والأسي – السنة الثالثة ثانوي (شعب علمية) – الرياضيات – المنهاج الجزائري

مقدمة

في هذا الدرس من دروس الثانوي (شعب علمية)، نتناول موضوع “الأعداد المركبة – الشكل المثلثي والأسي – السنة الثالثة ثانوي (شعب علمية) – الرياضيات – المنهاج الجزائري” وفق المنهاج الجزائري للتعليم الثانوي. هذا الدرس موجه لتلاميذ الشعب العلمية (علوم تجريبية، رياضيات، تقني رياضي) الذين يستعدون لاجتياز امتحان شهادة البكالوريا.

الشكل المثلثي للعدد المركب

العدد المركب z = a + ib يكتب في الشكل المثلثي: z = r(cosθ + i sinθ) حيث r = |z| = √(a² + b²) و θ = Arg(z) حيث cosθ = a/r و sinθ = b/r. العمدة تحدد بزاوية تحقق θ + 2kπ. الشكل المثلثي يبسط عمليات الضرب والقسمة وحساب القوى وجذور الأعداد المركبة.

صيغة موافر

صيغة موافر: (cosθ + i sinθ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ). تستخدم هذه الصيغة لحساب قوى الأعداد المركبة وإيجاد تعابير مثلثية لـ cos(nθ) و sin(nθ). مثلاً: cos(3θ) = 4cos³θ – 3cosθ و sin(3θ) = 3sinθ – 4sin³θ.

صيغة أويلر والتطبيقات

صيغة أويلر: e^(iθ) = cosθ + i sinθ. منها نستنتج: cosθ = (e^(iθ) + e^(-iθ))/2 و sinθ = (e^(iθ) – e^(-iθ))/(2i). في البكالوريا، تطلب أسئلة حول تمثيل الأعداد المركبة في المستوي العقدي، وإيجاد صور تحويلات هندسية (دوران، إزاحة، تحاكي) باستخدام الأعداد المركبة.

أمثلة من امتحانات البكالوريا

مثال 1: بكالوريا 2024: اكتب العدد z = 1 + i√3 في الشكل المثلثي ثم احسب z^6.

مثال 2: بكالوريا 2023: حل في C المعادلة z² + z + 1 = 0 ثم اكتب الحلول في الشكل المثلثي.

مثال 3: بكالوريا 2022: لتكن z1 = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)) و z2 = 3(cos(π/4) + i sin(π/4)). أحسب z1 × z2 و z1/z2.

خلاصة

نخلص مما سبق أن إتقان هذا الدرس يتطلب فهماً عميقاً للمفاهيم الأساسية وحل تمارين متنوعة. ننصح التلاميذ بمراجعة تمارين البكالوريا السابقة والتدرب على حل المسائل بأنفسهم. يمكنكم تحميل تمارين إضافية ومواضيع بكالوريا مع الحلول من موقعنا dz-onec.com.

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — قياس الكتل — السنة الخامسة ابتدائي
• التناسبية في الرياضيات — مفهومها وخواصها ومعامل التناسبية وتطبيقاتها (جدول التنا
• العمليات على الأعداد الطبيعية — الضرب والقسمة — تمارين شاملة — الرياضيات — السنة