المتتاليات – دراسة الرتابة والتقارب – السنة الثانية ثانوي (شعب علمية) – الرياضيات – المنهاج الجزائري

مقدمة

في هذا الدرس من دروس الثانوي (شعب علمية)، نتناول موضوع “المتتاليات – دراسة الرتابة والتقارب – السنة الثانية ثانوي (شعب علمية) – الرياضيات – المنهاج الجزائري” وفق المنهاج الجزائري للتعليم الثانوي. هذا الدرس موجه لتلاميذ الشعب العلمية (علوم تجريبية، رياضيات، تقني رياضي) الذين يستعدون لاجتياز امتحان شهادة البكالوريا.

رتابة المتتاليات

المتتالية (Un) متزايدة إذا كان Un+1 ≥ Un لكل n (أي Un+1 – Un ≥ 0)، ومتناقصة إذا كان Un+1 ≤ Un. لدراسة الرتابة، نحسب الفرق Un+1 – Un أو ندرس إشارة النسبة Un+1/Un (للمتتاليات الموجبة تماماً). المتتالية الثابتة تحقق Un+1 = Un.

التقارب والنهايات

المتتالية تتقارب نحو L إذا أمكن جعل حدودها قريبة كيفما نشاء من L بجعل n كبيراً كفاية. نكتب lim(n→∞) Un = L. إذا كانت المتتالية متزايدة ومكبورة فهي متقاربة. إذا كانت متناقصة ومصغورة فهي متقاربة. المتتالية غير المقيدة تتجه إلى ∞ أو -∞. نهايات المتتاليات العددية تشبه نهايات الدوال.

المتتاليات المرفقة

المتتالية المرفقة من الدرجة الأولى: Un+1 = f(Un). لدراستها، ندرس الدالة f ونبحث عن النقاط الثابتة (حلول L = f(L)). إذا كانت المتتالية متقاربة، فإن نهايتها L تحقق L = f(L). نظرية النقطة الثابتة: إذا كانت f مستمرة و (Un) متقاربة نحو L، فإن L = f(L).

أمثلة من امتحانات البكالوريا

مثال 1: بكالوريا 2024: لتكن (Un) معرفة بـ U0 = 1 و Un+1 = √(Un + 2). بين أن (Un) متزايدة ومكبورة ثم استنتج تقاربها.

مثال 2: بكالوريا 2023: لتكن (Un) معرفة بـ U0 = 0 و Un+1 = (Un + 3)/(Un + 1). ادرس رتابة (Un) ثم أحسب نهايتها.

مثال 3: بكالوريا 2022: لتكن (Un) و (Vn) معرفتين بـ U0 = 2, V0 = 1 و Un+1 = (Un+Vn)/2, Vn+1 = (Un+2Vn)/3. بين أن (Un) و (Vn) متقاربتان ولهما نفس النهاية.

خلاصة

نخلص مما سبق أن إتقان هذا الدرس يتطلب فهماً عميقاً للمفاهيم الأساسية وحل تمارين متنوعة. ننصح التلاميذ بمراجعة تمارين البكالوريا السابقة والتدرب على حل المسائل بأنفسهم. يمكنكم تحميل تمارين إضافية ومواضيع بكالوريا مع الحلول من موقعنا dz-onec.com.

📍 دروس مشابهة

• الجداء المتصالب (الضرب التبادلي) في التناسبية — مفهومه وتطبيقاته في حل المسائل —
• الرياضيات — قياس الأطوال (المتر وأجزاؤه — السنتيمتر والمليمتر) — السنة الثالثة إ
• قائمة الاساتذة المقبولين في اطار التعاقد مادة العلوم الاجتماعية و الرياضيات – غل