التحويلات النقطية في المستوى — الإزاحة والدوران والتحاكي — السنة الثانية ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — الرياضيات — المنهاج الجزائري

التحويلات النقطية هي تطبيقات رياضية تحول كل نقطة من المستوي إلى نقطة أخرى وفق قاعدة محددة. تشمل الإزاحة والدوران والتحاكي والتماثل. هذا الدرس ضمن مقرر الرياضيات للسنة الثانية ثانوي شعب علمية.

أولاً: الإزاحة (Translation)

الإزاحة هي تحويل ينقل كل نقطة M إلى نقطة M’ بحيث MM’ = ū (شعاع ثابت).

خصائص الإزاحة:

تحفظ المسافات (إزاحة تطابق = isométrie).
تحفظ الزوايا والاتجاهات.
تحيل مستقيماً إلى مستقيم موازٍ له.
تحيل دائرة إلى دائرة لها نفس نصف القطر.
مركب إزاحتين: t_ū ∘ t_v̄ = t_ū+v̄

ثانياً: الدوران (Rotation)

الدوران R(O, θ) هو تحويل يثبت النقطة O (مركز الدوران) ويحول كل نقطة M إلى M’ بحيث:

OM = OM’ (المسافة محفوظة)
زاوية (OM, OM’) = θ (بالتقدير المثلثي)

خصائص الدوران:

تحفظ المسافات (تطابق).
تحفظ الزوايا (مباشر = يحافظ على الاتجاه).
الدوران بزاوية θ = 0 هو التحويل المطابق.
الدوران بزاوية π هو التماثل المركزي.
مركب دورانيين: R(O, θ₂) ∘ R(O, θ₁) = R(O, θ₁ + θ₂)

ثالثاً: التحاكي (Homothétie)

التحاكي H(O, k) هو تحويل يثبت النقطة O ويحول كل نقطة M إلى M’ بحيث OM’ = k × OM (k ≠ 0).

خصائص التحاكي:

إذا k > 1: تكبير، إذا 0 < k < 1: تصغير، إذا k < 0: تحاكي معاكس.
يضاعف المسافات بمعامل |k|.
يحفظ الزوايا (يشبه = similitude).
يحيل مستقيماً إلى مستقيم موازٍ له.
يحيل دائرة نصف قطرها r إلى دائرة نصف قطرها |k|×r.

رابعاً: التماثل المحوري (Symétrie Axiale)

التماثل المحوري بالنسبة لمستقيم (Δ) يحول كل نقطة M إلى M’ بحيث (Δ) هو واسط القطعة [MM’].

خصائص التماثل المحوري:

تحفظ المسافات (تطابق).
تعكس الاتجاه (تغير الزوايا إلى مقابلاتها).
مركب تماثلين محوريين: إذا كان المحوران متوازيين ← إزاحة، إذا كانا متقاطعين ← دوران.

خامساً: مثال بكالوريا

تمرين بكالوريا (دورة 2021): في المستوي المنسوب إلى معلم متعامد، نعتبر النقطتين A(1, 2) و B(4, 6).

1. أحسب إحداثيات A’ صورة A بالإزاحة ذات الشعاع ū(2, −3).

2. أحسب إحداثيات B’ صورة B بالدوران R(O, π/2).

الحل:

1. A'(x’, y’) بحيث: x’ = x_A + u_x = 1 + 2 = 3

y’ = y_A + u_y = 2 + (−3) = −1

إذن A'(3, −1)

2. بالدوران بزاوية π/2: x’ = x×cos(π/2) − y×sin(π/2) = −y

y’ = x×sin(π/2) + y×cos(π/2) = x

B'(−6, 4)

خلاصة

التحويلات النقطية أساسية في الهندسة ولها تطبيقات في الرسوميات الحاسوبية والروبوتات والهندسة المعمارية. وهي من المواضيع المهمة في بكالوريا الشعب العلمية.

التحويلات النقطية في المستوى — الإزاحة والدوران والتحاكي — السنة الثانية ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — الرياضيات — المنهاج الجزائري