مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الجبر الخطي — المصفوفات والمحددات — السنة الثانية ثانوي (شعبة رياضيات وتقني رياضي) — الرياضيات — المنهاج الجزائري
المصفوفات (Matrices) هي أدوات رياضية قوية تستخدم لتنظيم وحل أنظمة المعادلات الخطية. لها تطبيقات واسعة في الفيزياء والاقتصاد وعلوم الحاسوب. هذا الدرس ضمن مقرر الرياضيات للسنة الثانية ثانوي لشعبتي الرياضيات والتقني رياضي.
أولاً: تعريف المصفوفة
المصفوفة هي مجموعة من الأعداد مرتبة في صفوف (lignes) وأعمدة (colonnes) على شكل جدول مستطيل.
مصفوفة ذات m صف و n عمود تكتب: A = (a_ij) حيث i = 1,…,m و j = 1,…,n
مثال: مصفوفة 2×3: A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
أنواع خاصة من المصفوفات:
- مصفوفة مربعة: عدد الصفوف = عدد الأعمدة.
- مصفوفة قطرية: جميع العناصر خارج القطر الرئيسي صفر.
- مصفوفة الوحدة I: مصفوفة قطرية جميع عناصر قطرها الرئيسي = 1.
- مصفوفة صفرية: جميع عناصرها = 0.
ثانياً: العمليات على المصفوفات
الجمع: C_ij = A_ij + B_ij (بشرط أن تكون المصفوفتان من نفس البعد)
الضرب في عدد حقيقي: (kA)_ij = k x A_ij
ضرب المصفوفات: A(m x n) x B(n x p) = C(m x p) حيث C_ij = Σ A_ik x B_kj (لـ k من 1 إلى n)
ملاحظة: ضرب المصفوفات ليس تبديلياً: AB ≠ BA (في الغالب).
مقلوب المصفوفة (Inverse): A^(-1) إذا وجد يحقق: A x A^(-1) = A^(-1) x A = I
ثالثاً: محدد المصفوفة (Déterminant)
محدد مصفوفة 2×2: det([[a, b], [c, d]]) = ad – bc
محدد مصفوفة 3×3: يحسب بطريقة ساروس (Sarrus) أو بالنشر وفق صف أو عمود.
المحدد يساوي 0 إذا وفقط إذا كانت المصفوفة غير قابلة للعكس (منفردة).
رابعاً: حل نظام معادلات خطية
يمكن كتابة نظام المعادلات: 3x + 2y = 7 و x – y = -1 على شكل AX = B حيث:
A = [[3, 2], [1, -1]]، X = [x, y]، B = [7, -1]
الحل: X = A^(-1) x B
خامساً: مثال بكالوريا
تمرين بكالوريا (دورة 2022 — شعبة رياضيات): نعتبر المصفوفة A = [[1, 2], [3, 4]].
1. احسب محدد A.
2. احسب A^(-1) (مقلوب A).
3. حل النظام: x + 2y = 5 و 3x + 4y = 11.
الحل:
1. det(A) = 1×4 – 2×3 = 4 – 6 = -2
2. A^(-1) = (1/det(A)) x [[4, -2], [-3, 1]] = (-1/2) x [[4, -2], [-3, 1]]
A^(-1) = [[-2, 1], [3/2, -1/2]]
3. X = A^(-1) x B = [[-2, 1], [3/2, -1/2]] x [5, 11]
x = -2×5 + 1×11 = -10 + 11 = 1
y = (3/2)x5 + (-1/2)x11 = 15/2 – 11/2 = 4/2 = 2
إذن: (x, y) = (1, 2)
خلاصة
المصفوفات أداة أساسية في الجبر الخطي. تستخدم في حل أنظمة المعادلات، وتحليل البيانات، والذكاء الاصطناعي، والرسوميات الحاسوبية، والفيزياء الكمية. وهي من المواضيع المهمة في بكالوريا شعبتي الرياضيات والتقني رياضي.
دروس مشابهة
- المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — طريقة الحل وقواعد المساواة وحل مسائل —
- الرياضيات — التناسبية (النسبة والتناسب مع تمارين تطبيقية) — السنة الخامسة إبتدائ
- موضوع امتحان بكالوريا 2021 في الرياضيات مع الحل – شعبة تقني رياضي
