الأعداد العقدية (المركبة) — الشكل الجبري والهندسي وتطبيقاتها — السنة الثالثة ثانوي (بكالوريا) — شعبة رياضيات وتقني رياضي — الرياضيات — المنهاج الجزائري

الأعداد العقدية (المركبة) — الشكل الجبري والهندسي — السنة الثالثة ثانوي (بكالوريا) — شعبة رياضيات وتقني رياضي — الرياضيات — المنهاج الجزائري

الأعداد العقدية (المركبة) هي أعداد من الشكل a + bi حيث i² = −1. لها تطبيقات واسعة في الفيزياء والهندسة الكهربائية. هذا الدرس موجه لتلاميذ السنة الثالثة ثانوي شعبتي رياضيات وتقني رياضي.

أولاً: تعريف العدد العقدي

العدد العقدي هو عدد يُكتب على الشكل z = a + bi حيث a,b ∈ ℝ و i هي الوحدة التخيلية (i² = −1).

• a = Re(z): الجزء الحقيقي
• b = Im(z): الجزء التخيلي

إذا كان b = 0، فالعدد حقيقي. إذا كان a = 0، فالعدد تخيلي صرف.

ثانياً: العمليات على الأعداد العقدية

الجمع: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

الضرب: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

المرافق (Conjugué): z̄ = a − bi لـ z = a + bi

المعيار (Module): |z| = √(a² + b²)

ثالثاً: الشكل المثلثي (الهندسي)

يمكن كتابة العدد العقدي على الشكل المثلثي: z = r(cos θ + i sin θ) حيث:

• r = |z| = √(a² + b²) هو المعيار
• θ = arg(z) هو العمدة (Argument) حيث tan θ = b/a

صيغة موافر (Moivre): (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)

صيغة أويلر: e^iθ = cos θ + i sin θ

رابعاً: تطبيقات — حل المعادلات في ℂ

المعادلة من الدرجة الثانية: az² + bz + c = 0 مع a,b,c ∈ ℝ

المميز Δ = b² − 4ac:

• Δ > 0: حلان حقيقيان
• Δ = 0: حل حقيقي مزدوج
• Δ < 0: حلان عقديان مترافقان: z = (−b ± i√(−Δ))/2a

خامساً: مثال بكالوريا

خلاصة

الأعداد العقدية أداة رياضية متقدمة تستخدم في الكهرباء (تحليل الدوائر المترددة)، وميكانيك الكم، ومعالجة الإشارات. وهي مطلب أساسي في بكالوريا شعبتي رياضيات وتقني رياضي.

دروس مشابهة

• الرياضيات — الكسور العشرية (قراءة وكتابة ومقارنة) — السنة الخامسة ابتدائي — المن
• الرياضيات — السنة الثالثة ابتدائي — محيط المربع والمستطيل (حسابه وتطبيقاته) — ال
• نظرية فيثاغورس والعكس — شرح مبسط مع أمثلة وتمارين محلولة — الرياضيات — السنة الث