موضوع امتحان بكالوريا 2023 في الرياضيات مع الحل – شعبة تسيير واقتصاد

📌 التمرين الأول (05 نقاط)

نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ − {1} بـ:

f(x) = (x² + 1)/(x − 1)

1. ادرس اتجاه تغير الدالة f.
2. أوجد معادلات المقاربات.
3. بين أن النقطة Ω(1, 2) مركز تناظر للمنحنى (C_f).
4. احسب ∫₂³ f(x) dx.

📌 التمرين الثاني (05 نقاط)

نعتبر الأعداد العقدية:

z₁ = 1 + i, z₂ = 1 − i

1. اكتب z₁ و z₂ على الشكل المثلثي.
2. احسب (z₁)⁶ + (z₂)⁶.
3. حل في ℂ المعادلة: z² − 2z + 2 = 0.

📌 التمرين الثالث (05 نقاط)

نعتبر المتتالية (u_n) المعرفة بـ:

u₀ = 4, u_n+1 = (u_n + 6)/(u_n + 1)

1. بين أن u_n > 0 لكل n.
2. ادرس رتابة المتتالية (u_n).
3. بين أن (u_n) متقاربة نحو ℓ حيث ℓ = 2.

📌 التمرين الرابع (05 نقاط)

في المستوي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم، نعتبر النقط:

A(2, 1), B(−1, 3), C(0, −2)

1. احسب AB و AC و BC.
2. بين أن المثلث ABC قائم في A.
3. أوجد معادلة الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.

🔹 حل التمرين الأول

1. الاتجاه: f′(x) = (2x(x−1) − (x²+1))/(x−1)² = (x²−2x−1)/(x−1)²
   Δ = 8، الجذران: 1±√2.
   متزايدة على ]−∞, 1−√2[ ∪ ]1+√2, +∞[ ومتناقصة على ]1−√2, 1[ ∪ ]1, 1+√2[.
2. المقاربات: x = 1 (عمودي)، y = x + 1 (مائل).
3. مركز التناظر: Ω(1, 2) يحقق f(1+h) + f(1−h) = 4.
4. التكامل: ∫(x+1 + 2/(x−1))dx = x²/2 + x + 2ln|x−1|
   = 5/2 + 2ln2

🔹 حل التمرين الثاني

1. z₁ = √2(cos(π/4) + i sin(π/4))
   z₂ = √2(cos(−π/4) + i sin(−π/4))
2. (z₁)⁶ + (z₂)⁶ = 8(cos(3π/2) + i sin(3π/2)) + 8(cos(−3π/2) + i sin(−3π/2)) = −16
3. Δ = 4 − 8 = −4 = 4i² ⇒ z = 1 ± i

🔹 حل التمرين الثالث

1. بما أن u_n > 0 فإن u_n+1 > 0.
2. u_n+1 − u_n = (−u_n² + 6)/(u_n + 1) < 0 لأن u_n > 2. المتتالية متناقصة.
3. ℓ = 2.

🔹 حل التمرين الرابع

1. AB² = 13, AC² = 13, BC² = 26 ⇒ AB = AC.
2. AB² + AC² = 26 = BC² ⇒ المثلث قائم ومتساوي الساقين في A.
3. مركز الدائرة: منتصف BC = (−0.5, 0.5)
   المعادلة: (x + 0.5)² + (y − 0.5)² = 6.5