المثلثات — نظرية فيثاغورس — حساب أطوال أضلاع المثلث القائم والتحقق من قائمة المثلث — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

المثلثات — نظرية فيثاغورس

أهداف الدرس

• أن يتذكر التلميذ مفهوم المثلث القائم الزاوية
• أن يصيغ نظرية فيثاغورس رياضياً
• أن يطبق نظرية فيثاغورس في حساب أطوال أضلاع المثلث القائم

أولاً: تذكير بالمثلث القائم الزاوية

المثلث القائم الزاوية هو مثلث له زاوية قائمة (قياسها 90°). الضلع المقابل للزاوية القائمة يسمى الوتر، وهو أطول أضلاع المثلث القائم. الضلعان الآخران يسميان ضلعا الزاوية القائمة (الساقان).

ثانياً: نص نظرية فيثاغورس

في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي ضلعي الزاوية القائمة.

إذا كان المثلث ABC قائم الزاوية في A، فإن:

BC² = AB² + AC²

حيث BC هو الوتر، و AB و AC هما ضلعا الزاوية القائمة.

ثالثاً: صيغ أخرى للنظرية

• الوتر² = الضلع الأول² + الضلع الثاني²
• الضلع الأول² = الوتر² – الضلع الثاني²
• الضلع الثاني² = الوتر² – الضلع الأول²

رابعاً: أمثلة محلولة

مثال 1: في مثلث قائم الزاوية، طول ضلعي الزاوية القائمة هما 3 cm و 4 cm. احسب طول الوتر.

الحل:
الوتر² = ²(3) + ²(4) = 9 + 16 = 25
الوتر = √25 = 5 cm

مثال 2: مثلث قائم الزاوية طول وتره 13 cm وطول أحد ضلعيه 5 cm. احسب طول الضلع الآخر.

الحل:
الضلع² = ²(13) – ²(5) = 169 – 25 = 144
الضلع = √144 = 12 cm

خامساً: استعمال نظرية فيثاغورس للتحقق من قائمة المثلث

إذا كانت أضلاع مثلث هي a و b و c (حيث c هو أطول ضلع)، فإن المثلث قائم الزاوية إذا تحقق:

c² = a² + b²

مثال 3: هل المثلث الذي أضلاعه 6 cm و 8 cm و 10 cm قائم الزاوية؟

الحل:
أطول ضلع هو 10 cm
²(10) = 100
²(6) + ²(8) = 36 + 64 = 100
بما أن 100 = 100، فإن المثلث قائم الزاوية.

تمارين

1. مثلث قائم الزاوية طول ساقيه 6 cm و 8 cm. احسب طول الوتر.
2. مثلث قائم طول وتره 17 cm وطول أحد ضلعيه 15 cm. احسب طول الضلع الآخر.
3. هل المثلث الذي أضلاعه 5 cm و 12 cm و 13 cm قائم الزاوية؟ برر.
4. سُلّم طوله 5 أمتار يستند إلى حائط، إذا كان بُعد أسفل السلم عن الحائط 3 أمتار، فما ارتفاع الحائط الذي يصل إليه السلم؟
5. أوجد قيمة x في مثلث قائم الزاوية طول وتره x وضلعاه 9 و 12.

خلاصة

نظرية فيثاغورس هي إحدى النظريات الأساسية في الهندسة. تنص على أن مربع الوتر في المثلث القائم الزاوية يساوي مجموع مربعي ضلعي القائمة. تستخدم لحساب الأطوال المجهولة والتحقق من تعامد المستقيمات. الصيغة: الوتر² = الضلع الأول² + الضلع الثاني².

📍 دروس مشابهة

• النسب المثلثية في المثلث القائم — جيب الزاوية وجيب التمام والظل — تعريفاتها وعلا
• المعالم في المستوى — الإحداثيات الكارتيزية وتمثيل النقط في المستوى — الرياضيات —
• المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — طريقة الحل وقواعد المساواة وحل مسائل —