المتجهات والانسحاب — مفهوم المتجهة وخصائصها وجمعها والانسحاب في المستوى الإحداثي — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

المتجهات والانسحاب

أهداف الدرس

• أن يتعرف التلميذ على مفهوم المتجهة
• أن يمثل المتجهة بيانياً بمخطط
• أن يطبق مفهوم الانسحاب (الإزاحة) في المستوى

أولاً: مفهوم المتجهة (Vector)

المتجهة (أو الشعاع) هي قطعة مستقيمة موجهة، لها ثلاث خصائص:

• الأصل: نقطة البداية
• الاتجاه: من الأصل إلى النهاية
• المنتظم (الطول): المسافة بين نقطتي البداية والنهاية

نرمز للمتجهة التي أصلها A ونهايتها B بالرمز: →AB (أو AB→)

ثانياً: خصائص المتجهات

الخاصية	التعريف	مثال
المتجهة المعدومة	نقطة بدايتها = نقطة نهايتها (→AA)	→AA = →0 (الطول = 0)
المتجهتان متساويتان	نفس الاتجاه ونفس الطول	→AB = →CD إذا كان (AB) // (CD) و AB = CD
المتجهة المعاكسة	نفس الطول، عكس الاتجاه	→BA = – →AB

ثالثاً: الانسحاب (Translation)

الانسحاب (أو الإزاحة) هو تحويل هندسي ينقل كل نقطة من الشكل الأصلي مسافة معينة وفي اتجاه معين، والمسافة والاتجاه يحددهما متجهة الانسحاب.

صيغة: إذا كانت M’ هي صورة M بالانسحاب الذي متجهته →u، فإن: →MM’ = →u

رابعاً: مجموع المتجهات

علاقة شال (Chasles): لأي ثلاث نقط A و B و C: →AB + →BC = →AC

مثال: إذا كان A(1,2) و B(4,6) و C(7,10):
→AB = (3,4) و →BC = (3,4) و →AC = (6,8)
→AB + →BC = (3+3, 4+4) = (6,8) = →AC ✓

خامساً: التمثيل في المستوى الإحداثي

إذا كان A(x₁, y₁) و B(x₂, y₂)، فإن إحداثيات المتجهة →AB هي:

→AB = (x₂ – x₁, y₂ – y₁)

طول المتجهة (المنتظم) = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]

أمثلة محلولة

مثال 1: أحسب إحداثيات المتجهة →AB حيث A(2,3) و B(7,5).

الحل:
→AB = (7 – 2, 5 – 3) = (5, 2)
طول →AB = √(5² + 2²) = √(25 + 4) = √29

مثال 2: النقطة M(1,4) هي صورة M’ بالانسحاب الذي متجهته →u(3,-2). أوجد إحداثيات M’.

الحل:
M'(x’, y’) بحيث: x’ = x + u₁ = 1 + 3 = 4
y’ = y + u₂ = 4 + (-2) = 2
M’ = (4, 2)

تمارين

1. أحسب إحداثيات →AB إذا كان A(1,1) و B(4,5).
2. إذا كانت →AB = (3,-2) و A(-1,4)، أوجد إحداثيات B.
3. أوجد مجموع المتجهات: →AB + →BC حيث A(0,0) و B(2,3) و C(5,7).
4. انسحب النقطة P(3,-1) بالمتجهة →v(2,4). ما إحداثيات الصورة P’؟
5. برهن باستخدام علاقة شال أن: →AB + →BC + →CA = →0.

خلاصة

المتجهة هي قطعة مستقيمة موجهة تحدد بالاتجاه والطول والأصل. الانسحاب هو تحويل ينقل الشكل وفق متجهة معينة. باستخدام الإحداثيات، يمكن حساب المتجهات وجمعها بسهولة. علاقة شال: →AB + →BC = →AC. هذه المفاهيم أساسية في الهندسة التحليلية والفيزياء.

📍 دروس مشابهة

• القوى في الرياضيات — مفهوم القوة وأسس العدد 10 وقواعد الحساب مع الأسس الصحيحة ال
• الإحصاء — التكرار والمتوسط الحسابي والوسيط والمنوال مع أمثلة وتمارين محلولة — ال
• التحليل في الرياضيات – نشر العامل المشترك والفرق بين مربعين والتحليل بالتج