الرياضيات — المعادلات التفاضلية البسيطة من الدرجة الأولى: تعريفها وطرق حلها وتطبيقاتها في النمو الأسي — الرياضيات — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري

الأهداف التعليمية

• أن يتعرف المتعلم على مفهوم المعادلة التفاضلية
• أن يحل المعادلات التفاضلية من الشكل y = a و y = ay + b
• أن يطبق المعادلات التفاضلية في مسائل النمو والاضمحلال

1. تعريف المعادلة التفاضلية

المعادلة التفاضلية هي معادلة تربط بين دالة ومشتقاتها. نرمز للدالة بـ y(x) ومشتقاتها بـ y و y.

أمثلة:

• y = 3x (معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى)
• y + y – 2y = 0 (معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية)

2. حل المعادلة y = f(x)

حل المعادلة y = f(x) هو الدالة y = f(x)dx + C حيث C ثابت التكامل.

مثال: إذا كانت y = 2x، فإن y = x + C

3. حل المعادلة y = ay (النمو الأسي)

المعادلة y = ay حيث a عدد حقيقي، حلها العام هو y = Ce^(ax) حيث C ثابت حقيقي.

مثال: y = 3y y = Ce^(3x)

4. حل المعادلة y = ay + b

المعادلة y = ay + b حيث a ≠ 0، حلها العام هو y = Ce^(ax) – b/a.

تطبيقات: النمو السكاني، التحلل الإشعاعي، قانون التبريد لنيوتن.

5. تمارين محلولة

التمرين 1:

حل المعادلة التفاضلية y = 5y مع الشرط y(0) = 2.

الحل: y = Ce^(5x). من الشرط: y(0) = C = 2. إذن y = 2e^(5x).

التمرين 2:

حل المعادلة y = -2y + 6 مع الشرط y(0) = 1.

الحل: الحل العام: y = Ce^(-2x) – 6/(-2) = Ce^(-2x) + 3.
باستخدام الشرط: y(0) = C + 3 = 1 C = -2.
إذن: y = -2e^(-2x) + 3 = 3 – 2e^(-2x).

---

📚 دروس مشابهة

• التناسبية والدالة الخطية – الأولى ثانوي
• مبرهنة طاليس في المثلث – الأولى ثانوي