نظرية فيثاغورس — شرح وتطبيقات مع أمثلة وتمارين — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

مقدمة عن نظرية فيثاغورس

نظرية فيثاغورس هي إحدى النظريات الأساسية في الهندسة، وسميت نسبة إلى العالم اليوناني فيثاغورس (570–495 ق.م). تنطبق هذه النظرية على المثلثات القائمة الزاوية فقط.

نص النظرية

في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي ضلعي الزاوية القائمة.

إذا كان ABC مثلثاً قائماً في A، فإن:

BC² = AB² + AC²

حيث BC هو الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة).

مصطلحات مهمة

• الوتر: أطول ضلع في المثلث القائم، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة.
• ضلعا الزاوية القائمة: الضلعان اللذان يشكلان الزاوية القائمة.

أمثلة محلولة

مثال 1: حساب طول الوتر

مثلث قائم الزاوية في A، حيث AB = 3 cm و AC = 4 cm. أحسب BC.

الحل:

بتطبيق نظرية فيثاغورس:

BC² = AB² + AC²

BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

BC = √25 = 5 cm

مثال 2: حساب أحد ضلعي الزاوية القائمة

مثلث قائم الزاوية في B، حيث AB = 6 cm و AC = 10 cm. أحسب BC.

الحل:

بتطبيق نظرية فيثاغورس (AC هو الوتر):

AC² = AB² + BC²

10² = 6² + BC²

100 = 36 + BC²

BC² = 100 – 36 = 64

BC = √64 = 8 cm

مثال 3: التحقق من قائمية مثلث

أثبت أن المثلث الذي أطوال أضلاعه 5 cm، 12 cm، 13 cm هو مثلث قائم الزاوية.

الحل:

نطبق النظرية العكسية: نتحقق مما إذا كان مربع أطول ضلع يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

13² = 169

5² + 12² = 25 + 144 = 169

بما أن 13² = 5² + 12²، فإن المثلث قائم الزاوية.

العكسية لنظرية فيثاغورس

إذا كان مربع طول ضلع في مثلث يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن المثلث قائم الزاوية، والضلع الأطول هو الوتر.

تطبيقات عملية

• الهندسة المعمارية: التأكد من أن الزوايا قائمة في البناء.
• الملاحة: حساب المسافات بين النقاط على الخريطة.
• قياس الارتفاعات: حساب ارتفاع الأشجار أو المباني باستخدام الظلال.

تمارين

التمرين 1

مثلث قائم الزاوية في A، AB = 7 cm، AC = 24 cm. أحسب BC.

التمرين 2

سلم طوله 13 m يستند على حائط رأسي. قاعدة السلم تبعد 5 m عن الحائط. ما هو ارتفاع الحائط الذي يصل إليه السلم؟

التمرين 3

هل المثلث الذي أطوال أضلاعه 8 cm، 15 cm، 17 cm هو مثلث قائم الزاوية؟ برر إجابتك.

الخلاصة

نظرية فيثاغورس: في المثلث القائم، مربع الوتر = مجموع مربعي ضلعي القائمة. وتستخدم لحساب أطوال الأضلاع في المثلثات القائمة والتحقق من قائمية المثلثات. وهي أداة أساسية في الهندسة والتطبيقات العملية.