موضوع امتحان بكالوريا 2025 في الرياضيات مع الحل – شعبة تسيير واقتصاد

موضوع امتحان شهادة البكالوريا 2025

المادة: الرياضيات — الشعبة: تسيير واقتصاد

---

التمرين الأول: (5 نقاط)

نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ: f(x) = -x² + 4x – 3

1. احسب f(0) و f(2) و f(3). (1.5 نقاط)
2. أوجد شكل f(x) المعبر عنه بـ: f(x) = a(x – α)² + β. (1.5 نقاط)
3. ادرس إشارة f(x) على ℝ. (1 نقطة)
4. أوجد إحداثيات نقطة تقاطع منحنى الدالة f مع محور الأفاصيل ومحور التراتيب. (1 نقطة)

الحل:

1. حساب القيم:

• f(0) = -(0)² + 4(0) – 3 = -3
• f(2) = -(2)² + 4(2) – 3 = -4 + 8 – 3 = 1
• f(3) = -(3)² + 4(3) – 3 = -9 + 12 – 3 = 0

2. كتابة الدالة على شكل مميز:

f(x) = -x² + 4x – 3 = -(x² – 4x) – 3 = -[(x – 2)² – 4] – 3 = -(x – 2)² + 4 – 3 = -(x – 2)² + 1

إذن: f(x) = -(x – 2)² + 1 مع α = 2 و β = 1

3. إشارة f(x):

المميز Δ = b² – 4ac = 16 – 12 = 4 > 0، للدالة جذران:

x₁ = (-4 + 2)/(-2) = 1

x₂ = (-4 – 2)/(-2) = 3

بما أن a = -1 < 0، فإن f(x) > 0 على المجال ]1, 3[ و f(x) < 0 على ]-∞, 1[ ∪ ]3, +∞[.

4. نقط التقاطع مع المحورين:

مع محور الأفاصيل: f(x) = 0 ⇔ x = 1 أو x = 3، إذن النقطتان (1, 0) و (3, 0).

مع محور التراتيب: f(0) = -3، إذن النقطة (0, -3).

---

التمرين الثاني: (5 نقاط)

نعتبر متتالية حسابية (uₙ) حيث u₁ = 5000 و أساسها r = 200.

1. احسب u₂ و u₃ و u₅. (1.5 نقاط)
2. عبر عن uₙ بدلالة n. (1 نقطة)
3. احسب S₁₀ = u₁ + u₂ + … + u₁₀. (1.5 نقاط)
4. بعد كم حد يصبح uₙ = 10000؟ (1 نقطة)

الحل:

1. حساب الحدود:

• u₂ = u₁ + r = 5000 + 200 = 5200
• u₃ = u₂ + r = 5200 + 200 = 5400
• u₅ = u₁ + 4r = 5000 + 800 = 5800

2. التعبير عن uₙ:

uₙ = u₁ + (n – 1)r = 5000 + (n – 1) × 200

3. حساب المجموع S₁₀:

Sₙ = n × (u₁ + uₙ) / 2

u₁₀ = 5000 + 9 × 200 = 5000 + 1800 = 6800

S₁₀ = 10 × (5000 + 6800) / 2 = 10 × 11800 / 2 = 59000

4. حساب n عندما uₙ = 10000:

10000 = 5000 + (n – 1) × 200

5000 = (n – 1) × 200

n – 1 = 25

n = 26

إذن بعد 26 حداً يصبح u₂₆ = 10000.

---

التمرين الثالث: (5 نقاط)

يوزع بنك قروضاً على 3 أنواع من المشاريع: مشاريع صغيرة (A)، مشاريع متوسطة (B)، مشاريع كبيرة (C). تم إحصاء 120 قرضاً وزعت كالتالي: A: 50 قرضاً، B: 40 قرضاً، C: 30 قرضاً.

1. ما هي النسبة المئوية لكل نوع من القروض؟ (1.5 نقاط)
2. يمثل الوضع بمخطط دائري. احسب زاوية كل قطاع. (1.5 نقاط)
3. إذا تم اختيار قرض عشوائياً، ما هو احتمال أن يكون من النوع A أو B؟ (2 نقاط)

الحل:

1. النسب المئوية:

• A: (50/120) × 100 = 41.67%
• B: (40/120) × 100 = 33.33%
• C: (30/120) × 100 = 25%

2. زوايا القطاعات:

• A: 50/120 × 360 = 150°
• B: 40/120 × 360 = 120°
• C: 30/120 × 360 = 90°

3. الاحتمال:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 50/120 + 40/120 = 90/120 = 3/4 = 0.75

إذن احتمال أن يكون القرض من النوع A أو B هو 75%.

---

التمرين الرابع: (5 نقاط)

نعتبر الدالة g المعرفة على ℝ بـ: g(x) = 2x + 1 / (x – 1)

1. عين مجموعة تعريف الدالة g. (1 نقطة)
2. احسب نهايات الدالة عند حدود مجموعة التعريف. (2 نقاط)
3. بين أن الدالة g تقبل كتابة من الشكل: g(x) = a + b/(x – 1) ثم استنتج اتجاه تغير الدالة g على كل مجال من مجالات تعريفها. (2 نقاط)

الحل:

1. مجموعة التعريف:

Dg = ℝ \ {1} لأن المقام لا يمكن أن يكون صفراً.

2. النهايات:

• lim g(x) عندما x → +∞ = 2
• lim g(x) عندما x → -∞ = 2
• lim g(x) عندما x → 1⁺ = +∞
• lim g(x) عندما x → 1⁻ = -∞

3. كتابة الدالة:

g(x) = 2x + 1 / (x – 1) = [2(x – 1) + 3] / (x – 1) = 2 + 3/(x – 1)

a = 2 و b = 3

بما أن b = 3 > 0، فإن الدالة g متناقصة على ]-∞, 1[ و متناقصة على ]1, +∞[.

انتهى الحل النموذجي.