الدوال اللوغاريتمية: تعريف الدالة ln وخصائصها وتمثيلها البياني مع تمارين بكالوريا محلولة — الرياضيات — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري

📘 الأهداف التعليمية

• تعريف الدالة اللوغاريتمية وعلاقتها بالدالة الأسية
• التعرف على خصائص الدالة اللوغاريتمية (مجموعة التعريف، الإشارة، الرتابة)
• حل معادلات ومتراجحات لوغاريتمية
• دراسة التمثيل البياني للدالة اللوغاريتمية

📝 شرح الدرس

تعريف الدالة اللوغاريتمية

الدالة اللوغاريتمية للأساس e (اللوغاريتم الطبيعي) هي الدالة العكسية للدالة الأسية. نرمز لها بـ ln(x).

لكل x > 0 : ln(x) = y ⇔ e^y = x

خصائص الدالة اللوغاريتمية

1. مجموعة التعريف: D_ln = ]0, +∞[
2. القيم المميزة: ln(1) = 0 , ln(e) = 1
3. الإشارة: ln(x) > 0 إذا كان x > 1، و ln(x) < 0 إذا كان 0 < x < 1
4. الرتابة: الدالة ln تزايدية قطعاً على ]0, +∞[
5. النهايات: lim_x→0⁺ ln(x) = -∞ , lim_x→+∞ ln(x) = +∞

خصائص جبرية (للعددين a و b موجبين قطعاً)

• ln(a × b) = ln(a) + ln(b)
• ln(a / b) = ln(a) – ln(b)
• ln(aⁿ) = n × ln(a) حيث n عدد صحيح نسبي
• ln(1 / a) = -ln(a)
• ln(√a) = (1/2) × ln(a)

المشتقة

الدالة ln قابلة للاشتقاق على ]0, +∞[ ومشتقتها: (ln(x))’ = 1 / x

📌 تمارين بكالوريا محلولة

التمرين 1 (بكالوريا): احسب قيمة:

A = ln(e³) + ln(1/e²) – ln(1)

الحل:
ln(e³) = 3ln(e) = 3×1 = 3
ln(1/e²) = ln(e^-2) = -2ln(e) = -2
ln(1) = 0
A = 3 + (-2) – 0 = 1

التمرين 2 (بكالوريا): بسط العبارة: B = ln(8) + ln(5) – ln(20)

الحل:
B = ln(8×5) – ln(20) = ln(40) – ln(20) = ln(40/20) = ln(2)

التمرين 3 (بكالوريا): حل في ℝ المعادلة: ln(2x – 1) = ln(x + 3)

الحل:
دلتا الوجود: 2x – 1 > 0 ⇒ x > 1/2 و x + 3 > 0 ⇒ x > -3
إذن مجموعة التعريف: D = ]1/2, +∞[
ln(2x – 1) = ln(x + 3) ⇒ 2x – 1 = x + 3 ⇒ x = 4
4 ∈ D إذن حل المعادلة: S = {4}

التمرين 4 (بكالوريا): ادرس إشارة f(x) = ln(x² – 1) على مجموعة تعريفها.

الحل:
x² – 1 > 0 ⇒ x < -1 أو x > 1. إذن D_f = ]-∞, -1[ ∪ ]1, +∞[
f(x) = 0 ⇔ ln(x² – 1) = 0 ⇔ x² – 1 = 1 ⇔ x² = 2 ⇔ x = -√2 أو x = √2
f(x) > 0 ⇔ x² – 1 > 1 ⇔ x < -√2 أو x > √2
f(x) < 0 ⇔ 0 < x² - 1 < 1 ⇔ -√2 < x < -1 أو 1 < x < √2

📍 دروس مشابهة:

• مشكلة الإبداع الفني في الفلسفة: مفهوم الإبداع والجمال ومواقف الفلاسفة مع تمارين بكالوريا محلولة — الفلسفة — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري
• أسلوب الاختصاص والتحذير والإغراء في اللغة العربية: تعريفها وصيغها وإعرابها مع تمارين بكالوريا محلولة — اللغة العربية — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري
• التجارة الدولية: مفهومها ونظرياتها (الميزة المطلقة والنسبية) وأهميتها مع تمارين محلولة — الاقتصاد — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري