الجداء المتصالب (الضرب التبادلي) في التناسبية — مفهومه وتطبيقاته في حل المسائل — الرياضيات — السنة الثانية متوسط — المنهاج الجزائري

الجداء المتصالب والتناسبية

أهداف الدرس

• أن يفهم المتعلم مفهوم الجداء المتصالب.
• أن يستخدم الجداء المتصالب لحل مسائل التناسبية.
• أن يميز بين التناسبية المباشرة والتناسبية العكسية.

مفهوم الجداء المتصالب

الجداء المتصالب (الضرب التبادلي) هو طريقة تستخدم لحساب القيمة المجهولة في تناسبية. إذا كانت النسبة a/b = c/d فإن: a × d = b × c. هذا هو قانون الجداء المتصالب.

حل معادلة باستعمال الجداء المتصالب

إذا كان لدينا: x/5 = 12/20
فإن: x × 20 = 5 × 12
x × 20 = 60
x = 60 ÷ 20 = 3

التناسبية المباشرة

تكون كميتان متناسبتان تناسباً مباشراً إذا كانت النسبة بينهما ثابتة. أي: y/x = k (ثابت التناسب).
مثال: إذا كان ثمن الكيلوغرام الواحد من التفاح 200 دينار، فثمن 3 كغ هو: 3 × 200 = 600 دينار.

الكمية (كغ)	1	2	3	5
الثمن (دينار)	200	400	600	1000

التناسبية العكسية

تكون كميتان متناسبتان تناسباً عكسياً إذا كان جداؤهما ثابتاً. أي: x × y = k (ثابت).
مثال: إذا كانت 3 عمال ينجزون عملاً في 12 يوماً، فكم يوماً يحتاج 6 عمال لإنجاز نفس العمل؟
3 × 12 = 6 × y → 36 = 6y → y = 6 أيام.

أمثلة محلولة

مثال 1: إذا كانت 4 أقلام ثمنها 320 ديناراً، فما ثمن 7 أقلام؟
الحل: 4/320 = 7/x → 4x = 320 × 7 → 4x = 2240 → x = 560 ديناراً.

مثال 2: سيارة تستهلك 8 لترات من الوقود لقطع مسافة 100 كم. ما كمية الوقود اللازمة لقطع 350 كم؟
الحل: 8/100 = x/350 → 8 × 350 = 100x → 2800 = 100x → x = 28 لتراً.

تمارين

1. إذا كان 5 كغ من البرتقال ثمنها 450 ديناراً، احسب ثمن 12 كغ.
2. 10 عمال يبنون جداراً في 8 أيام. كم يوماً يحتاج 16 عاملاً؟
3. جد قيمة x: x/7 = 15/21

خلاصة

الجداء المتصالب أداة قوية لحل مسائل التناسبية. التناسبية المباشرة: تزيد إحدى الكميتين مع زيادة الأخرى. التناسبية العكسية: تزيد إحدى الكميتين مع نقصان الأخرى.

دروس مشابهة

• المستقيم المدرج وتحديد نقطة — الأعداد النسبية
• المساحات والحجوم — حساب المساحات وحجم المكعب
• المثلثات: تصنيفها حسب الأضلاع والزوايا