دراسة الدوال العددية: مجموعة التعريف والتغيرات والتمثيل البياني مع تمارين محلولة — الرياضيات — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

درس: دراسة الدوال العددية

الأهداف التعليمية

• تعريف الدالة العددية ومجموعة تعريفها
• دراسة اتجاه تغير دالة (رتابة)
• التمثيل البياني للدوال الأساسية
• تحديد القيم القصوى والدنيا لدالة

المحتوى النظري

1. تعريف الدالة العددية

الدالة العددية f هي تطبيق يربط كل عدد حقيقي x من مجموعة تعريفها D_f بعدد وحيد y = f(x).

مجموعة التعريف D_f هي مجموعة الأعداد الحقيقية x التي يكون لها صورة f(x).

2. مجموعة تعريف الدوال الأساسية

• الدالة الحدودية: D_f = R
• الدالة الناطقة (كسور): D_f = R \ {الأعداد التي تعدم المقام}
• الدالة الجذرية: D_f = [0, +∞[
• الدالة اللوغاريتمية: D_f = ]0, +∞[

3. رتابة الدالة

نقول أن f تزايدية على مجال I إذا كان: لكل x1 < x2 في I لدينا f(x1) < f(x2)

نقول أن f تناقصية على مجال I إذا كان: لكل x1 < x2 في I لدينا f(x1) > f(x2)

4. دراسة إشارة المشتق لتحديد الرتابة

إذا كانت f قابلة للاشتقاق على مجال I، فإن:

• إذا كان f'(x) ≥ 0 على I فإن f تزايدية على I
• إذا كان f'(x) ≤ 0 على I فإن f تناقصية على I

مثال تطبيقي

لتكن الدالة f(x) = x² – 4x + 3

1. مجموعة التعريف: f دالة حدودية، إذن D_f = R

2. المشتق: f'(x) = 2x – 4

3. دراسة الإشارة: f'(x) ≥ 0 ⇔ 2x – 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2

إذاً f تناقصية على ]-∞, 2] وتزايدية على [2, +∞[

4. القيمة الدنيا: f(2) = 4 – 8 + 3 = -1، ومنه (2, -1) نقطة حد أدنى.

تمرين بكالوريا محلول

التمرين: ادرس الدالة f(x) = (x + 1)/(x – 1) وبين تغيراتها.

الحل:

مجموعة التعريف: D_f = R \ {1}

المشتق: f'(x) = [(1)(x – 1) – (x + 1)(1)]/(x – 1)² = (x – 1 – x – 1)/(x – 1)² = -2/(x – 1)²

إشارة f'(x): البسط -2 < 0 والمقام (x - 1)² > 0 إذاً f'(x) < 0 لكل x ≠ 1

ومنه f تناقصية قطعاً على ]-∞, 1[ وعلى ]1, +∞[

دروس مشابهة

• الدوال المرجعية: الدالة مربع وجذر تربيعي ومقلوب
• المعادلات من الدرجة الثانية بمجهول واحد