النهايات والاستمرارية: حساب النهايات ودراسة الفروع اللانهائية مع تمارين بكالوريا محلولة — الرياضيات — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري

درس: النهايات والاستمرارية: حساب النهايات ودراسة الفروع اللانهائية

الأهداف التعليمية

• حساب نهايات الدوال عند نقطة وعند اللانهاية
• دراسة الاستمرارية في نقطة
• تحديد الفروع اللانهائية (مقاربات)
• تطبيق مبرهنة القيم المتوسطة

المحتوى النظري

1. تعريف النهاية

نقول أن f(x) تؤول إلى L عندما يؤول x إلى a إذا أمكن جعل f(x) قريبة من L بقدر ما نريد بجعل x قريباً كافياً من a.

نكتب: lim f(x) = L عندما x → a

2. نهايات الدوال الأساسية

• lim x² = +∞ عندما x → ±∞
• lim 1/x = 0 عندما x → ±∞
• lim √x = +∞ عندما x → +∞
• lim √x = 0 عندما x → 0⁺

3. الاستمرارية في نقطة

الدالة f مستمرة في النقطة a إذا تحقق:

1. f معرفة في a

2. lim f(x) موجودة عندما x → a

3. lim f(x) = f(a) عندما x → a

4. الفروع اللانهائية والمقاربات

المقارب العمودي: إذا كان lim f(x) = ±∞ عندما x → a، فإن المستقيم x = a مقارب عمودي.

المقارب الأفقي: إذا كان lim f(x) = b عندما x → ±∞، فإن المستقيم y = b مقارب أفقي.

المقارب المائل: إذا كان lim [f(x) – (ax + b)] = 0 عندما x → ±∞، فإن المستقيم y = ax + b مقارب مائل.

مثال تطبيقي

لتكن f(x) = (2x² + 3x – 1)/(x – 1)

lim f(x) عندما x → 1⁺: البسط → 4 والمقام → 0⁺ إذن النهاية +∞ (x = 1 مقارب عمودي)

lim f(x)/x = lim (2x² + 3x – 1)/(x² – x) = 2 (عند +∞)

lim [f(x) – 2x] = lim [(2x² + 3x – 1) – 2x(x – 1)]/(x – 1) = lim (5x – 1)/(x – 1) = 5

إذن y = 2x + 5 مقارب مائل عند +∞

تمرين بكالوريا محلول

التمرين: ادرس نهايات الدالة f(x) = (x² – 4)/(x – 2) عند النقطة 2 وعند ±∞.

الحل:

عند x = 2: f(x) = (x – 2)(x + 2)/(x – 2) = x + 2 لكل x ≠ 2

إذن lim f(x) = 2 + 2 = 4 عندما x → 2 (نهاية منتهية)

عند +∞: lim (x² – 4)/(x – 2) = lim x²/x = +∞

عند -∞: lim (x² – 4)/(x – 2) = lim x²/x = -∞

للبحث عن مقارب مائل: f(x)/x = (x² – 4)/(x² – 2x) → 1

f(x) – x = (x² – 4)/(x – 2) – x = (x² – 4 – x² + 2x)/(x – 2) = (2x – 4)/(x – 2) = 2

إذن y = x + 2 مقارب مائل عند ±∞

دروس مشابهة

• الدوال المرجعية: الدالة مربع وجذر تربيعي ومقلوب
• الهندسة الفضائية: الأوضاع النسبية