الهندسة في الفضاء: الموشور القائم والهرم (المساحات والحجوم) مع تمارين محلولة — الرياضيات — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

الهندسة في الفضاء: الموشور القائم والهرم — Géométrie dans l espace

الأهداف التعليمية:

• التعرف على المجسمات الهندسية (الموشور القائم والهرم)
• حساب المساحة الجانبية والكلية للموشور القائم والهرم
• حساب حجم الموشور القائم والهرم
• تطبيق القوانين في مسائل متنوعة

1. الموشور القائم (Prisme droit):

تعريف: مجسم له قاعدتان متوازيتان ومتطابقتان على شكل مضلع، وأوجه جانبية مستطيلة.

خصائص:

• القاعدتان: مضلعان متطابقان ومتوازيان
• الأوجه الجانبية: مستطيلات
• الأحرف الجانبية: متقايسة وعمودية على القاعدتين
• عدد الأوجه الجانبية = عدد أضلاع القاعدة

قوانين هامة:

• المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع
  S_L = P × h
• المساحة الكلية = المساحة الجانبية + 2 × مساحة القاعدة
  S_T = S_L + 2 × B
• الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع
  V = B × h

2. الهرم (Pyramide):

تعريف: مجسم قاعدته مضلع وأوجهه الجانبية مثلثات تلتقي في نقطة مشتركة تسمى قمة الهرم.

خصائص:

• قاعدة الهرم: مضلع (مثلث، مربع، خماسي، …)
• الأوجه الجانبية: مثلثات
• رأس (قمة) الهرم: النقطة المشتركة بين جميع الأوجه الجانبية
• الارتفاع: المسافة العمودية من القمة إلى مستوى القاعدة

قوانين هامة:

• المساحة الجانبية = مجموع مساحات المثلثات الجانبية
• المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة
• الحجم = (1/3) × مساحة القاعدة × الارتفاع
  V = (1/3) × B × h

3. تمارين محلولة:

التمرين 1: موشور قائم قاعدته مربع طول ضلعه 5 cm وارتفاعه 12 cm. احسب المساحة الجانبية والكلية والحجم.

الحل:
محيط القاعدة: P = 4 × 5 = 20 cm
مساحة القاعدة: B = 5 × 5 = 25 cm²
المساحة الجانبية: S_L = 20 × 12 = 240 cm²
المساحة الكلية: S_T = 240 + 2 × 25 = 290 cm²
الحجم: V = 25 × 12 = 300 cm³

التمرين 2: هرم قاعدته مربع طول ضلعه 6 cm وارتفاعه 10 cm. احسب حجم الهرم.

الحل:
مساحة القاعدة: B = 6 × 6 = 36 cm²
الحجم: V = (1/3) × 36 × 10 = 120 cm³

التمرين 3: موشور قائم قاعدته مثلث قائم الزاوية أضلاعه 3 cm و 4 cm و 5 cm وارتفاع الموشور 8 cm. احسب الحجم.

الحل:
مساحة القاعدة (مثلث قائم): B = (3 × 4) / 2 = 6 cm²
الحجم: V = 6 × 8 = 48 cm³

4. جدول تلخيصي:

المجسم	المساحة الجانبية	المساحة الكلية	الحجم
الموشور القائم	P × h	SL + 2B	B × h
الهرم	مجموع مساحات المثلثات	SL + B	(1/3) × B × h

5. خلاصة:

• الموشور القائم: V = B × h, S_L = P × h
• الهرم: V = (1/3) × B × h
• الموشور له قاعدتان، الهرم له قاعدة واحدة
• الارتفاع هو المسافة العمودية بين القاعدتين (للموشور) أو من القمة إلى القاعدة (للهرم)

📚 دروس مشابهة:

• الهندسة التحليلية — المستقيم في المستوى (معادلة مستقيم، ميل مستقيم)
• النسب المثلثية في مثلث قائم الزاوية — sin, cos, tan
• جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين — طرق الحل