التكامل: مفهوم التكامل غير المحدود والمحدود وطرق الحساب مع تمارين بكالوريا محلولة — الرياضيات — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري

الثانية ثانوي, تربية وتعليم, دروس الثانوي ضع تعليق

التكامل: مفهوم التكامل غير المحدود والمحدود وطرق الحساب مع تمارين بكالوريا محلولة

الأهداف التعليمية:

التعرف على مفهوم التكامل كعملية عكسية للاشتقاق
حساب التكاملات غير المحدودة باستخدام القواعد الأساسية
حساب التكاملات المحدودة وتطبيق مبرهنة الأساس في التفاضل والتكامل
تطبيق التكامل في حساب المساحات

1. تمهيد

التكامل هو أحد المفهومين الأساسيين في التحليل الرياضي إلى جانب الاشتقاق. إذا كان الاشتقاق يدرس معدل التغير، فإن التكامل يدرس التراكم ومساحة المنحنيات. يرتبط التكامل والاشتقاق ارتباطاً وثيقاً من خلال مبرهنة الأساس في التفاضل والتكامل.

2. المشتقة العكسية (الأصلية)

تعريف: نقول إن الدالة F مشتقة عكسية (أصلية) للدالة f على مجال I إذا كانت F'(x) = f(x) لكل x ∈ I.

إذا كانت F مشتقة عكسية لـ f، فإن كل المشتقات العكسية لـ f تكتب على الشكل: F(x) + C حيث C ثابت حقيقي.

3. التكامل غير المحدود

تعريف: التكامل غير المحدود للدالة f، ويرمز له بـ ∫f(x)dx، هو مجموعة كل المشتقات العكسية لـ f.

القواعد الأساسية للتكامل:

الصيغة	التكامل	مثال
تكامل الثابت	∫k dx = kx + C	∫5 dx = 5x + C
تكامل القوة	∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, n≠−1	∫x³ dx = x⁴/4 + C
تكامل 1/x	∫(1/x) dx = ln\|x\| + C	∫(1/x) dx = ln\|x\| + C
تكامل الدالة الأسية	∫eˣ dx = eˣ + C	∫eˣ dx = eˣ + C
تكامل الجيب	∫sin(x) dx = −cos(x) + C	∫sin(2x) dx = −½cos(2x) + C
تكامل جيب التمام	∫cos(x) dx = sin(x) + C	∫cos(3x) dx = ⅓sin(3x) + C
ضرب عدد في دالة	∫k·f(x) dx = k·∫f(x) dx	∫5x² dx = 5x³/3 + C
مجموع دالتين	∫[f(x)±g(x)] dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx	∫(x²+2x) dx = x³/3 + x² + C

4. التكامل المحدود

مبرهنة الأساس في التفاضل والتكامل: إذا كانت f دالة متصلة على [a, b] و F مشتقة عكسية لـ f، فإن:

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)

خواص التكامل المحدود:

∫ₐᵇ k·f(x) dx = k·∫ₐᵇ f(x) dx
∫ₐᵇ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ₐᵇ f(x) dx ± ∫ₐᵇ g(x) dx
∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵇₐ f(x) dx
∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫ᶜᵇ f(x) dx (حيث a < c < b)
إذا كانت f(x) ≥ 0 على [a, b]، فإن ∫ₐᵇ f(x) dx ≥ 0

5. تطبيق: حساب المساحة

المساحة المحصورة بين منحنى الدالة y = f(x) (حيث f(x) ≥ 0) ومحور الفواصل (Ox) والمستقيمين x = a و x = b تساوي:

A = ∫ₐᵇ f(x) dx

6. تمارين محلولة

التمرين 1: احسب التكاملات غير المحدودة التالية:

أ. ∫(3x² − 2x + 5) dx
ب. ∫(4eˣ + 2/x) dx
ج. ∫(2sin(x) − 3cos(x)) dx

الحل:

أ. ∫(3x² − 2x + 5) dx = 3·(x³/3) − 2·(x²/2) + 5x + C = x³ − x² + 5x + C

ب. ∫(4eˣ + 2/x) dx = 4eˣ + 2ln|x| + C

ج. ∫(2sin(x) − 3cos(x)) dx = −2cos(x) − 3sin(x) + C

التمرين 2: احسب التكاملات المحدودة التالية:

أ. ∫₀¹ (x² + 1) dx
ب. ∫₁² (2x − 1/x²) dx

الحل:

أ. F(x) = x³/3 + x → F(1) = 1/3 + 1 = 4/3, F(0) = 0
∫₀¹ (x² + 1) dx = F(1) − F(0) = 4/3

ب. ∫(2x − x⁻²) dx = x² + 1/x
F(2) = 4 + 1/2 = 9/2, F(1) = 1 + 1 = 2
∫₁² (2x − 1/x²) dx = 9/2 − 2 = 5/2

التمرين 3 (بكالوريا): احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحني الدالة f(x) = x² − 2x + 3 ومحور الفواصل والمستقيمين x = 1 و x = 3.

الحل:

التحقق من إشارة f(x) على [1, 3]: المميز Δ = 4 − 12 = −8 < 0، إذاً f(x) > 0 على ℝ (معامل x² موجب).

المساحة = ∫₁³ (x² − 2x + 3) dx

F(x) = x³/3 − x² + 3x

F(3) = 27/3 − 9 + 9 = 9
F(1) = 1/3 − 1 + 3 = 7/3

A = 9 − 7/3 = (27 − 7)/3 = 20/3 وحدة مساحة

التمرين 4 (بكالوريا): احسب ∫₀^π/2 (sin(x) + cos(x)) dx.

الحل:

F(x) = −cos(x) + sin(x)

F(π/2) = −cos(π/2) + sin(π/2) = −0 + 1 = 1
F(0) = −cos(0) + sin(0) = −1 + 0 = −1

التكامل = F(π/2) − F(0) = 1 − (−1) = 2

7. خلاصة

التكامل هو العملية العكسية للاشتقاق. التكامل غير المحدود يعطي مجموعة من الدوال (بإضافة ثابت C)، بينما التكامل المحدود يعطي قيمة عددية تمثل المساحة تحت المنحنى. القواعد الأساسية (القوة، الأسي، المثلثية) مع خطية التكامل تمكننا من حساب معظم التكاملات البسيطة.

التكامل: مفهوم التكامل غير المحدود والمحدود وطرق الحساب مع تمارين بكالوريا محلولة — الرياضيات — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري