موضوع امتحان بكالوريا 2021 في الرياضيات مع الحل – شعبة علوم تجريبية

نعتبر العدد العقدي z = (1+i√3)/(1-i).

1.1. أكتب z على الشكل الجبري a+ib (a و b عددان حقيقيان). (1 ن)

1.2. أحسب معيار العدد z والعمدة arg(z) (بين -π و π). (1.5 ن)

1.3. استنتج قيمتي cos(π/12) و sin(π/12). (1 ن)

1.4. أوجد العددين العقديين u و v الجذرين التربيعيين للعدد العقدي Z = √3/2 + i/2. (1 ن)

نعتبر المتتالية (u_n) المعرفة بـ: u0 = 3 و u_(n+1) = (1/2)u_n + 2 لكل n ∈ ℕ.

2.1. بين بالتراجع أن u_n ≤ 4 لكل n ∈ ℕ. (1 ن)

2.2. ادرس اتجاه تغير المتتالية (u_n). (1 ن)

2.3. لتكن (v_n) متتالية معرفة بـ v_n = u_n – 4.

أ. بين أن (v_n) متتالية هندسية يطلب تعيين أساسها q وحدها الأول. (1 ن)

ب. اكتب u_n بدلالة n. ثم احسب lim u_n عندما n → ∞. (1 ن)

2.4. احسب المجموع S_n = u0 + u1 + u2 + … + u_n بدلالة n. (0.5 ن)

نعتبر الدالة f المعرفة على المجال ]0, +∞[ بـ: f(x) = x – 1 – ln x.

نسمي (C_f) التمثيل البياني للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O;i,j) (الوحدة: 2 سم).

3.1. أحسب نهايتي الدالة f عند 0+ وعند +∞. (1 ن)

3.2. أحسب f\'(x) لكل x > 0، وادرس إشارة f\'(x). ثم شكل جدول تغيرات الدالة f. (1.5 ن)

3.3. بين أن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلا وحيدا α في المجال ]1, e[، ثم احسب قيمته بالتقريب إلى 10^(-1). (1.5 ن)

3.4. ادرس وضعية المنحنى (C_f) بالنسبة للمستقيم (Δ) ذي المعادلة y = x – 1. (1 ن)

3.5. ارسم (C_f) و (Δ) في نفس المعلم. (1 ن)

نعتبر الدالة g المعرفة على ℝ بـ: g(x) = x e^(-x).

4.1. أحسب التكامل I = ∫₀¹ g(x) dx. (1.5 ن)

4.2. أحسب التكامل J = ∫₀¹ x² e^(-x) dx باستعمال طريقة المكاملة بالأجزاء. (1.5 ن)

4.3. أحسب مساحة حيز المستوى المحدد بمنحنى الدالة g ومحور الفواصل والمستقيمين x = 0 و x = 1. (1 ن)

4.4. باستعمال تغيير المتغير t = -x، أحسب التكامل K = ∫₋₁⁰ x e^(x) dx. (1 ن)

1.1. الشكل الجبري (1 ن):

z = (1+i√3)/(1-i) × (1+i)/(1+i) = (1+i+i√3+i²√3)/(1+1) = (1-√3)/2 + i(1+√3)/2

1.2. المعيار والعمدة (1.5 ن):

|z| = √[((1-√3)/2)² + ((1+√3)/2)²] = √(8/4) = √2

arg(z) = π/12

1.3. حساب cos(π/12) و sin(π/12) (1 ن):

cos(π/12) = (√6-√2)/4

sin(π/12) = (√6+√2)/4

1.4. الجذران التربيعيان (1 ن):

Z = √3/2 + i/2 = cos(π/6) + i sin(π/6) = e^(iπ/6). الجذران: u = e^(iπ/12) و v = -e^(iπ/12)

2.1. البرهان بالتراجع (1 ن):

أساس التراجع: u0 = 3 ≤ 4 صحيح. فرضية التراجع: u_n ≤ 4. u_(n+1) = (1/2)u_n + 2 ≤ 2 + 2 = 4 ✓

2.2. اتجاه التغير (1 ن):

u_(n+1) – u_n = -(1/2)(u_n – 4) ≥ 0 إذن (u_n) متزايدة.

2.3. المتتالية المساعدة (2 ن):

v_(n+1) = (1/2)v_n → (v_n) هندسية أساسها q = 1/2، v0 = -1.

v_n = -(1/2)^n → u_n = 4 – (1/2)^n. lim u_n = 4.

2.4. المجموع (0.5 ن):

S_n = Σ(4 – (1/2)^k) = 4(n+1) – 2(1-(1/2)^(n+1))

3.1. النهايات (1 ن):

lim_(x→0+) f(x) = +∞, lim_(x→+∞) f(x) = +∞

3.2. المشتقة (1.5 ن):

f\'(x) = (x-1)/x. f\'(x) ≥ 0 لـ x ≥ 1، f\'(x) ≤ 0 لـ 0 < x ≤ 1.

f(1) = 0 قيمة دنيا مطلقة.

3.3. المعادلة (1.5 ن):

f(1) = 0 إذن α = 1 هو الحل الوحيد.

3.4. وضعية المنحنى (1 ن):

f(x) – (x-1) = -ln x. فوق (Δ) لـ 0 < x < 1، تحت (Δ) لـ x > 1.

3.5. الرسم (1 ن):

نقطة A(1,0)، B(e, e-2)، تقارب شاقولي عند x=0.

4.1. التكامل I (1.5 ن):

I = ∫₀¹ x e^(-x) dx = 1 – 2/e

4.2. التكامل J (1.5 ن):

J = ∫₀¹ x² e^(-x) dx = 2 – 5/e

4.3. المساحة (1 ن):

S = I = 1 – 2/e وحدة مساحة.

4.4. التكامل K (1 ن):

K = ∫₋₁⁰ x e^(x) dx = 2/e – 1

📌 روابط مفيدة:

📐 مواضيع بكالوريا رياضيات أخرى •
🔬 مواضيع بكالوريا علوم تجريبية •
📅 بكالوريا 2021 جميع المواد