دراسة الدوال (Étude de Fonctions): المنهجية الكاملة مع حساب النهايات والاشتقاق والتمثيل البياني — الثالثة ثانوي (بكالوريا) رياضيات — المنهاج الجزائري

دراسة الدوال (Étude de Fonctions): المنهجية الكاملة

دراسة الدوال من المواضيع المحورية في بكالوريا رياضيات. كل امتحان تقريباً يحتوي على تمرين دراسة دالة. المنهجية الصارمة ضرورية للحصول على العلامة الكاملة.

1. المنهجية العامة لدراسة دالة

الخطوة	الشرح	مثال: f(x) = x²/(x-1)
1. مجموعة التعريف Df	تحديد المجال الذي تعريف عليه الدالة	Df = ℝ\\{1}
2. النهايات (Limites)	حساب النهايات عند حدود المجال	limx→1⁻ f = -∞, limx→1⁺ f = +∞
3. المقاربات (Asymptotes)	استنتاج المعادلات من النهايات	x=1 مقارب عمودي
4. الاشتقاق f(x)	حساب المشتقة ودراسة إشارتها	f(x) = (x²-2x)/(x-1)²
5. جدول التغيرات	تلخيص إشارة المشتقة وتغيرات الدالة	جدول يظهر التزايد والتناقص
6. التمثيل البياني (Cf)	رسم المنحنى في معلم مناسب	منحني بفرعين

2. النهايات الأساسية

• lim_x→+∞ ln x = +∞; lim_x→0⁺ ln x = -∞
• lim_x→+∞ eˣ = +∞; lim_x→-∞ eˣ = 0
• lim_x→+∞ eˣ/x = +∞; lim_x→+∞ ln x/x = 0
• lim_x→0 sin x/x = 1; lim_x→0 (eˣ-1)/x = 1

3. جدول المشتقات الأساسية

f(x)	f(x)	Df
xⁿ (n∈ℚ)	nxⁿ⁻¹	ℝ (أو ℝ⁺)
ln x	1/x	ℝ⁺*
eˣ	eˣ	ℝ
sin x	cos x	ℝ
cos x	-sin x	ℝ
tan x	1/cos²x = 1+tan²x	ℝ\\{π/2+kπ}

📝 تمرين بكالوريا محلول

التمرين (بكالوريا 2022 علوم تجريبية): ادرس الدالة f(x) = (ln x)/x (الدراسة الكاملة: مجموعة التعريف، النهايات، المشتقة، جدول التغيرات).

الحل النموذجي:
1) مجموعة التعريف: x > 0 → D_f = ]0, +∞[
2) النهايات:
lim_x→0⁺ (ln x)/x = -∞/0⁺ = -∞
lim_x→+∞ (ln x)/x = 0 (نهاية كلاسيكية)
→ y = 0 مقارب أفقي عند +∞
3) المشتقة:
f(x) = ((1/x)×x – ln x×1)/x² = (1 – ln x)/x²
4) إشارة f:
f(x) > 0 ⇔ 1 – ln x > 0 ⇔ ln x < 1 ⇔ x < e
f(x) < 0 ⇔ x > e
5) جدول التغيرات: f تزايدية على ]0, e] وتناقصية على [e, +∞[
f(e) = (ln e)/e = 1/e (قيمة قصوى)
6) التمثيل البياني: منحنى يمر من (1,0) له فرع يقترب من محور الفواصل عند +∞.

📌 الخلاصة

دراسة الدوال تتطلب اتباع منهجية صارمة: مجموعة تعريف → نهايات → مشتقة → إشارة → جدول تغيرات → تمثيل بياني. احفظ المشتقات الأساسية والنهايات الكلاسيكية.

📍 دروس مشابهة:
الدوال اللوغاريتمية (Logarithmes Népériens) مع تمارين بكالوريا محلولة
الدوال الأسية (Exponentielles) مع تمارين بكالوريا محلولة