مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الاحتمالات والمتغيرات العشوائية
الاحتمالات والمتغيرات العشوائية (Probabilités et variables aléatoires) من المواضيع الهامة في بكالوريا رياضيات، خاصة لشعبتي العلوم التجريبية وتقني رياضي. يأتي عادة في التمرين الثاني أو الثالث.
1. مفهوم المتغير العشوائي (Variable Aléatoire)
المتغير العشوائي X هو تطبيق من مجموعة الإمكانيات Ω نحو ℝ. باختصار، هو قيمة عددية مرتبطة بنتائج تجربة عشوائية.
2. قانون الاحتمال (Loi de Probabilité)
قانون احتمال المتغير العشوائي X يحدد القيم الممكنة xᵢ واحتمالاتها pᵢ = P(X=xᵢ):
| xᵢ | x₁ | x₂ | … | xn |
|---|---|---|---|---|
| P(X=xᵢ) | p₁ | p₂ | … | pn |
مع ∑ pᵢ = 1 و pᵢ ≥ 0
3. المؤشرات الإحصائية للمتغير العشوائي
| المؤشر | التعريف | الدلالة |
|---|---|---|
| الأمل الرياضي (Espérance) E(X) | E(X) = ∑ xᵢ·pᵢ | القيمة المتوسطة المنتظرة |
| التباين (Variance) V(X) | V(X) = ∑ (xᵢ – E(X))²·pᵢ | قياس تشتت القيم |
| الانحراف المعياري (Écart-type) σ(X) | σ(X) = √V(X) | وحدة قياس التشتت |
4. قانون الاحتمال المنفصل المنتظم (Loi Uniforme Discrète)
إذا كانت كل القيم لها نفس الاحتمال: P(X=xᵢ) = 1/n
E(X) = (x₁+x₂+…+xn)/n
5. قانون برنولي (Loi de Bernoulli)
تجربة بنتيجتين: نجاح (1) باحتمال p وفشل (0) باحتمال q=1-p
E(X) = p, V(X) = p(1-p)
📝 تمرين بكالوريا محلول
التمرين (بكالوريا 2020 علوم تجريبية): صندوق يحتوي على 3 كرات حمراء و 5 كرات خضراء و 2 كرة زرقاء. نسحب عشوائياً كرتين في آن واحد. نعتبر المتغير العشوائي X الذي يساوي عدد الكرات الحمراء المسحوبة.
(1) حدد قانون احتمال X.
(2) احسب E(X) و V(X).
الحل النموذجي:
المجموع: 10 كرات. عدد طرق سحب كرتين: C₁₀² = 45
قانون الاحتمال:
X تأخذ القيم: 0 (لا توجد كرة حمراء)، 1 (كرة حمراء واحدة)، 2 (كرتان حمراوان).
P(X=0) = C₃⁰×C₇²/C₁₀² = 1×21/45 = 21/45 = 7/15
P(X=1) = C₃¹×C₇¹/C₁₀² = 3×7/45 = 21/45 = 7/15
P(X=2) = C₃²×C₇⁰/C₁₀² = 3×1/45 = 3/45 = 1/15
التحقق: 7/15 + 7/15 + 1/15 = 15/15 = 1 ✔
| xᵢ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P(X=xᵢ) | 7/15 | 7/15 | 1/15 |
E(X) = 0×7/15 + 1×7/15 + 2×1/15 = 7/15 + 2/15 = 9/15 = 3/5 = 0.6
V(X) = (0-0.6)²×7/15 + (1-0.6)²×7/15 + (2-0.6)²×1/15
= 0.36×7/15 + 0.16×7/15 + 1.96×1/15
= 2.52/15 + 1.12/15 + 1.96/15 = 5.6/15 = 28/75 ≈ 0.373
📌 الخلاصة
المتغيرات العشوائية أداة أساسية في الاحتمالات. أتقن حساب قانون الاحتمال والأمل الرياضي والتباين. هذه المفاهيم تأتي بكثرة في امتحان البكالوريا.
📍 دروس مشابهة:
الاحتمالات الشرطية وقانون بايز مع تمارين بكالوريا محلولة
التباديل والتوافيق وقوانين الاحتمال مع تمارين بكالوريا محلولة
