موضوع امتحان بكالوريا 2024 في الرياضيات مع الحل — شعبة علوم تجريبية

📌 التمرين الأول (05 نقاط)

نعتبر الدالة f المعرفة على المجال ]0 ; +∞[ بـ:

f(x) = x ln x − x

1. احسب lim_x→0⁺ f(x) و lim_x→+∞ f(x)
2. ادرس اتجاه تغير الدالة f ثم شكل جدول تغيراتها.
3. بين أن المنحنى (C_f) يقبل نقطة انعطاف يطلب تعيينها.
4. أكتب معادلة المماس عند النقطة ذات الفاصلة x = 1.
5. احسب ∫₁^e f(x) dx ثم فسر النتيجة بيانيا.

📌 التمرين الثاني (05 نقاط)

نعتبر المتتالية العددية (u_n) المعرفة بـ:

u₀ = 2 و u_n+1 = (u_n² + 2) / (2u_n)

1. بين أن u_n > 0 لكل n ∈ ℕ.
2. ادرس رتابة المتتالية (u_n).
3. بين أن المتتالية (u_n) متقاربة نحو √2.
4. أوجد قيمة lim_n→∞ u_n.
5. احسب u₁ و u₂ مقربا إلى 10⁻³.

📌 التمرين الثالث (05 نقاط)

في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم (O; i→, j→, k→)، نعتبر النقط:

A(1, 0, 2), B(0, 1, 1), C(1, 2, 0)

1. بين أن النقط A, B, C ليست على استقامة واحدة.
2. أوجد معادلة المستوى (ABC).
3. احسب المسافة بين النقطة D(2, -1, 3) والمستوى (ABC).
4. أوجد إحداثيات المسقط العمودي للنقطة D على المستوى (ABC).

📌 التمرين الرابع (05 نقاط)

صندوق يحتوي على 10 كريات: 4 كريات حمراء و 3 كريات خضراء و 3 كريات زرقاء. نسحب عشوائيا وفي آن واحد كريتين من الصندوق.

1. ما هو عدد السحوبات الممكنة؟
2. احسب احتمال الحصول على كريتين من نفس اللون.
3. احسب احتمال الحصول على كريتين مختلفتي اللون.
4. نعتبر المتغير العشوائي X الذي يساوي عدد الكريات الحمراء المسحوبة. عين قانون احتمال X.

🔹 حل التمرين الأول

1. النهايات:
   • lim_x→0⁺ f(x) = lim_x→0⁺ (x ln x − x) = 0 − 0 = 0
   (لأن lim_x→0⁺ x ln x = 0)
   • lim_x→+∞ f(x) = lim_x→+∞ x(ln x − 1) = +∞
2. اتجاه التغير:
   f′(x) = ln x + x·(1/x) − 1 = ln x + 1 − 1 = ln x
   إشارة f′(x) هي إشارة ln x:
   • على ]0, 1[: ln x < 0 ⇒ f متناقصة
   • على ]1, +∞[: ln x > 0 ⇒ f متزايدة
   • f(1) = 1·ln1 − 1 = −1
3. نقطة الانعطاف:
   f″(x) = 1/x > 0 على ]0, +∞[ — إشارة f″ موجبة دائما، إذن لا توجد نقطة انعطاف لأن المشتق الثاني لا ينعدم.
4. معادلة المماس عند x=1:
   y = f′(1)(x−1) + f(1) = 0·(x−1) + (−1) = y = −1
5. التكامل:
   ∫₁^e f(x) dx = ∫₁^e (x ln x − x) dx
   ∫ x ln x dx = (x²/2) ln x − x²/4 + c
   ∫ x dx = x²/2 + c
   = [(x²/2) ln x − x²/4 − x²/2]₁^e
   = [(x²/2) ln x − 3x²/4]₁^e
   = [(e²/2)·1 − 3e²/4] − [0 − 3/4] = e²/2 − 3e²/4 + 3/4
   = (3 − e²)/4
   النتيجة سالبة لأن المنحنى تحت محور الفواصل على [1, e].

🔹 حل التمرين الثاني

1. برهان بالتراجع:
   u₀ = 2 > 0. نفرض u_n > 0، إذن u_n+1 = (u_n² + 2)/(2u_n) > 0. إذاً لكل n, u_n > 0.
2. الرتابة:
   u_n+1 − u_n = (u_n² + 2)/(2u_n) − u_n = (u_n² + 2 − 2u_n²)/(2u_n) = (2 − u_n²)/(2u_n)
   بما أن u₀ = 2 > √2، نجد u₁ = (4+2)/4 = 1.5. u_n+1 − u_n < 0 لأن u_n² > 2.
   إذن المتتالية متناقصة.
3. التقارب:
   المتتالية متناقصة ومحدولة من الأسفل بـ 0، إذن متقاربة.
   توجد ℓ ∈ ℝ: ℓ = (ℓ²+2)/(2ℓ) ⇒ 2ℓ² = ℓ²+2 ⇒ ℓ² = 2 ⇒ ℓ = √2 (لأن ℓ > 0).
4. lim_n→∞ u_n = √2
5. u₁ = 1.5 و u₂ = (2.25+2)/(3) = 1.417

🔹 حل التمرين الثالث

1. التحقق من عدم الاستقامية:
   AB→ = (−1, 1, −1), AC→ = (0, 2, −2)
   AB→ و AC→ غير مرتبطين خطيا (أحدهما ليس من مضاعفات الآخر)، إذن A, B, C ليست على استقامة.
2. معادلة المستوى:
   n→ = AB→ ∧ AC→ = (−1, 1, −1) × (0, 2, −2) = ((1·(−2)−(−1)·2), (−1·0−(−1)·(−2)), (−1·2−1·0))
   = (−2+2, 0−2, −2−0) = (0, −2, −2)
   نأخذ n→ = (0, 1, 1).
   المستوى (ABC): 0·(x−1) + 1·(y−0) + 1·(z−2) = 0
   ⇒ y + z − 2 = 0
3. المسافة:
   d(D, P) = |0 + (−1) + 3 − 2|/√(0²+1²+1²) = |0|/√2 = 0
   إذن D تنتمي إلى المستوى (ABC).
4. المسقط العمودي:
   بما أن d = 0، النقطة D تقع في المستوى، إذن المسقط العمودي هو D نفسها: (2, −1, 3).

🔹 حل التمرين الرابع

1. عدد السحوبات الممكنة:
   C₁₀² = 10×9/2 = 45
2. كريتين من نفس اللون:
   P(même couleur) = (C₄² + C₃² + C₃²)/45 = (6 + 3 + 3)/45 = 12/45 = 4/15
3. كريتين مختلفتي اللون:
   P(couleurs différentes) = 1 − 4/15 = 11/15
4. قانون احتمال X:
   X يمكن أن يأخذ القيم 0, 1, 2.
   P(X=0) = C₆²/45 = 15/45 = 1/3
   P(X=1) = (C₄¹×C₆¹)/45 = 24/45 = 8/15
   P(X=2) = C₄²/45 = 6/45 = 2/15
   التحقق: 1/3 + 8/15 + 2/15 = 5/15 + 8/15 + 2/15 = 15/15 = 1 ✓

⭐ نصائح للمترشحين

• تأكد من كتابة الوحدات عند الحاجة.
• استعمل الألوان في التمثيل البياني لتوضيح القراءات.
• راجع جدول الإشارات والمشتقات قبل الامتحان.
• وزّع وقتك: 45 دقيقة لكل تمرين.
• اقرأ السؤال جيداً قبل الإجابة.

📚 مواضيع ذات صلة

• 📖 موضوع الرياضيات بكالوريا 2026 علوم تجريبية
• 📖 درس الاحتمالات والمتغيرات العشوائية
• 📖 درس دراسة الدوال

📌 مدونة التربية والتعليم — dz-onec.com — كل ما يحتاجه التلميذ الجزائري