التشتت والانحراف المعياري: المدى والتباين والانحراف المعياري مع تمارين محلولة – الثانية ثانوي (رياضيات) – المنهاج الجزائري

مفهوم التشتت الإحصائي

التشتت الإحصائي هو مقياس يصف مدى انتشار قيم سلسلة إحصائية حول مركزها (المتوسط الحسابي). كلما كانت القيم أكثر تشتتا، زاد التباين بينها. تساعد مقاييس التشتت في فهم توزيع البيانات ومقارنة سلاسل إحصائية مختلفة.

مقاييس التشتت

1. المدى (Étendue)

المدى هو أبسط مقاييس التشتت، ويمثل الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في السلسلة الإحصائية.
المدى = القيمة القصوى – القيمة الدنيا

2. التباين (Variance)

التباين هو متوسط مربع انحرافات القيم عن متوسطها الحسابي. يعطي فكرة دقيقة عن تشتت القيم.
التباين = Σ(xi – x̄)² / n

3. الانحراف المعياري (Écart-type)

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين، ويعتبر أهم مقياس للتشتت لأنه يعبر عنه بنفس وحدة قياس البيانات الأصلية.
σ = √(التباين)

العلاقة مع المتوسط الحسابي

المتوسط الحسابي يمثل مركز السلسلة الإحصائية، بينما الانحراف المعياري يصف انتشار القيم حول هذا المركز. في التوزيع الطبيعي: 68% من القيم تقع ضمن انحراف معياري واحد، 95% ضمن انحرافين، 99.7% ضمن ثلاثة انحرافات معيارية.

مقارنة بين متسلسلتين

عند مقارنة سلسلتين لهما نفس المتوسط، تكون السلسلة ذات الانحراف المعياري الأصغر أكثر تجانسا. إذا اختلف المتوسطان، نستخدم معامل الاختلاف: CV = (σ / x̄) × 100

تمارين محلولة

تمرين 1:

احسب المدى والتباين والانحراف المعياري للسلسلة: 12, 15, 18, 20, 25
الحل:
المتوسط = (12+15+18+20+25)/5 = 18
المدى = 25-12 = 13
التباين = ((12-18)²+(15-18)²+(18-18)²+(20-18)²+(25-18)²)/5 = 98/5 = 19.6
الانحراف المعياري = √19.6 ≈ 4.43

تمرين 2:

سلسلة A: متوسط 50، انحراف معياري 5. سلسلة B: متوسط 40، انحراف معياري 4. أي السلسلتين أكثر تجانسا؟
الحل:
CV(A) = (5/50)×100 = 10%
CV(B) = (4/40)×100 = 10%
السلسلتان لهما نفس درجة التجانس.

خلاصة

مقاييس التشتت وخاصة الانحراف المعياري أدوات أساسية في التحليل الإحصائي. الانحراف المعياري الصغير يدل على تجانس البيانات بينما الكبير يدل على تشتتها.

📍 دروس مشابهة:

• المتوسطات الإحصائية – الثانية ثانوي
• الاحتمالات – الثانية ثانوي