الإحصاء في الرياضيات: المجتمع، العينة، التواتر، التكرار — الثانية ثانوي

الإحصاء في الرياضيات: المجتمع، العينة، التواتر، التكرار — الثانية ثانوي

أهداف الدرس:

• فهم المفاهيم الأساسية للإحصاء: المجتمع، العينة، المفردة.
• حساب التكرار والتواتر والتكرار النسبي.
• تمثيل البيانات الإحصائية بوسائل بيانية مختلفة.
• حساب مقاييس النزعة المركزية (المتوسط، الوسيط، المنوال).

1- مفاهيم إحصائية أساسية

• المجتمع الإحصائي: مجموعة الأفراد أو العناصر التي ندرس صفة معينة فيها.
• المفردة: كل عنصر من عناصر المجتمع.
• العينة: جزء من المجتمع يتم اختياره لتمثيل المجتمع عند تعذر دراسة جميع أفراده.
• الصفة (المتغير الإحصائي): الخاصية المراد دراستها. قد تكون كمية (الطول، الوزن، العمر) أو كيفية (الجنس، المهنة، اللون).

2- تنظيم البيانات الإحصائية

التكرار (fi): عدد مرات ظهور قيمة معينة من الصفة.

التواتر (fi/n): التكرار مقسوماً على مجموع التكرارات. يعبر عنه غالباً بنسبة مئوية.

التكرار المتجمع (التزايدي): مجموع التكرارات حتى قيمة معينة.

3- التمثيلات البيانية

• المدرج التكراري (Histogramme): أعمدة متجاورة لفئات متصلة.
• الأعمدة البيانية (Diagramme en bâtons): أعمدة منفصلة للقيم المنفصلة.
• المضلع التكراري: خط يصل منتصف قمم الأعمدة.
• القطاعات الدائرية: تمثل النسب المئوية.

4- مقاييس النزعة المركزية

أ- المتوسط الحسابي (Moyenne): مجموع القيم مقسوماً على عددها. x̄ = (Σxi×fi) / Σfi

ب- الوسيط (Médiane): القيمة التي تقسم البيانات إلى نصفين متساويين بعد ترتيبها تصاعدياً.

ج- المنوال (Mode): القيمة الأكثر تكراراً في البيانات.

5- مقاييس التشتت

المدى (Étendue): أكبر قيمة – أصغر قيمة.

التباين (Variance): v = Σfi(xi – x̄)² / Σfi

الانحراف المعياري (Écart-type): σ = √v

6- تمارين محلولة

تمرين 1: لدينا نتائج امتحان 40 تلميذاً في الرياضيات: 5، 8، 10، 12، 15، 18. التكرارات على التوالي: 4, 6, 8, 10, 7, 5. أحسب المتوسط الحسابي.

الحل: Σxi×fi = 5×4 + 8×6 + 10×8 + 12×10 + 15×7 + 18×5 = 20 + 48 + 80 + 120 + 105 + 90 = 463. المتوسط = 463/40 = 11.575.

تمرين 2: من التمرين السابق، أحسب الوسيط والمنوال.

الحل: الترتيب التصاعدي للتكرار المتجمع: 4, 10, 18, 28, 35, 40. الرتبة 20 و 21 تقعان في الفئة 12 (لأن 18 < 20 ≤ 28 و 18 < 21 ≤ 28). إذن الوسيط = 12. المنوال = 12 (أعلى تكرار = 10).

تمرين 3: أحسب الانحراف المعياري لنفس البيانات.

الحل: v = [4(5-11.575)² + 6(8-11.575)² + 8(10-11.575)² + 10(12-11.575)² + 7(15-11.575)² + 5(18-11.575)²] / 40

v = [4×43.23 + 6×12.78 + 8×2.48 + 10×0.18 + 7×11.73 + 5×41.28] / 40

v = [172.92 + 76.68 + 19.84 + 1.80 + 82.11 + 206.40] / 40 = 559.75 / 40 = 13.99

σ = √13.99 ≈ 3.74

📝 خلاصة

الإحصاء أداة قوية لتحليل البيانات واستخلاص النتائج. أتقن المفاهيم الأساسية (المجتمع، العينة، المتوسط، الوسيط، المنوال) وطرق التمثيل البياني، فهي أساس فهم الإحصاء الاستدلالي في المراحل المتقدمة.

📍 دروس مشابهة

• المرجح في المستوى: تعريف، خصائص وتمارين محلولة
• الجداء السلمي في المستوى: تعريف، خواص وتطبيقات