نظرية فيثاغورس (النظرية والعكس) — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

تعتبر نظرية فيثاغورس من أشهر النظريات الرياضية وأكثرها استخداماً في الهندسة. سُميت نسبة إلى عالم الرياضيات اليوناني فيثاغورس، وتربط بين أضلاع المثلث القائم الزاوية. في هذا الدرس، سنتعلم نص النظرية وعكسها مع تطبيقات محلولة.

الأهداف التعليمية

• أن يتعرف التلميذ على نص نظرية فيثاغورس.
• أن يستخدم النظرية لحساب طول وتر مثلث قائم.
• أن يستخدم عكس النظرية للتحقق من قائمة مثلث.

الشرح المبسط

نظرية فيثاغورس: في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين (الضلعين القائمين). إذا كان لدينا مثلث ABC قائم في A، فإن: BC² = AB² + AC².

عكس نظرية فيثاغورس: إذا كان في مثلث ABC تحقق BC² = AB² + AC²، فإن المثلث قائم الزاوية في A.

الوتر هو أطول ضلع في المثلث القائم، ويقابله الزاوية القائمة.

أمثلة محلولة

المثال 1: مثلث ABC قائم في A، فيه AB = 3cm و AC = 4cm. أحسب BC.

حسب نظرية فيثاغورس: BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. إذن BC = √25 = 5cm.

المثال 2: مثلث ABC أطوال أضلاعه: AB = 5cm, AC = 12cm, BC = 13cm. هل المثلث قائم؟

نحسب BC² = 13² = 169. نحسب AB² + AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. بما أن BC² = AB² + AC²، فالمثلث قائم في A حسب عكس نظرية فيثاغورس.

تمارين تطبيقية

1. مثلث قائم في A طول ضلعيه القائمين 6cm و 8cm. احسب طول الوتر.
2. مثلث أبعاده 7cm, 24cm, 25cm. هل هو قائم؟ علل.
3. سلم طوله 5m يستند إلى حائط رأسي. إذا كان بعد قاعدة السلم عن الحائط 3m، فما ارتفاع الحائط؟

نشاط منزلي

ارسم مثلثاً قائماً أطوال أضلاعه أعداداً صحيحة (مثل 5, 12, 13). تحقق من صحة نظرية فيثاغورس باستخدام المسطرة والمنقلة. ابحث عن ثلاثية فيثاغورس أخرى.

---

📍 دروس مشابهة

• النسبة المئوية وتطبيقاتها — الرياضيات للسنة الرابعة متوسط
• نظرية فيثاغورس — الرياضيات للسنة الرابعة متوسط