مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
بطاقة الدرس
| المادة | الرياضيات |
| المستوى | السنة الرابعة متوسط |
| الوحدة | الهندسة في الفضاء — الهرم ومخروط الدوران |
| المدة | حصتان (ساعتان) |
🎯 الأهداف التعليمية
- التعرف على الهرم القائم وخصائصه
- حساب المساحة الجانبية والكلية للهرم
- حساب حجم الهرم
- التعرف على مخروط الدوران ومكوناته
- حساب المساحة الجانبية والكلية لمخروط الدوران
- حساب حجم مخروط الدوران
📝 تمهيد
عندما ننظر إلى الأهرامات المصرية القديمة، نرى شكلاً هندسياً ثلاثي الأبعاد يُسمى الهرم. وفي حياتنا اليومية، نرى أشكالاً مثل القمع ومثلجات البوظة التي تأخذ شكل مخروط الدوران. في هذا الدرس، سنتعلم كيفية حساب المساحات والحجوم لهذه المجسمات الهندسية المهمة، وهي من المواضيع الأساسية في امتحان شهادة التعليم المتوسط (BEM).
📚 أولاً: الهرم القائم
تعريف: الهرم القائم
الهرم القائم هو مجسم قاعدته مضلع (مثلث، مربع، خماسي، …) ورؤوسه تتصل بنقطة واحدة تسمى قمة الهرم. الأوجه الجانبية للهرم هي مثلثات.
مكونات الهرم القائم:
- القاعدة: مضلع منتظم (مربع، مثلث متساوي الأضلاع، …)
- القمة: النقطة العلوية للهرم (S)
- الأوجه الجانبية: مثلثات تشترك في القمة
- الطول الجانبي (l): ارتفاع الوجه الجانبي (المسافة من القمة إلى ضلع القاعدة)
- الارتفاع (h): المسافة العمودية من القمة إلى مستوى القاعدة
أمثلة على الأهرام:
- هرم ثلاثي: قاعدته مثلث (4 أوجه)
- هرم رباعي: قاعدته مربع (5 أوجه) — مثل الأهرامات المصرية
- هرم خماسي: قاعدته خماسي (6 أوجه)
🔢 قوانين الهرم القائم
| القياس | القانون |
|---|---|
| المساحة الجانبية | \( S_{\text{جانبية}} = \frac{1}{2} \times \text{محيط القاعدة} \times \text{الطول الجانبي} \) |
| المساحة الكلية | \( S_{\text{كلية}} = S_{\text{جانبية}} + \text{مساحة القاعدة} \) |
| الحجم | \( V = \frac{1}{3} \times \text{مساحة القاعدة} \times \text{الارتفاع} \) |
أمثلة محلولة على الهرم:
📌 مثال 1: هرم رباعي قائم
هرم رباعي قائم قاعدته مربع طول ضلعه 6 cm، وارتفاع الهرم 4 cm، والطول الجانبي 5 cm. احسب المساحة الجانبية والكلية والحجم.
الحل:
- محيط القاعدة = \( 4 \times 6 = 24 \; cm \)
- المساحة الجانبية = \( \frac{1}{2} \times 24 \times 5 = 60 \; cm^2 \)
- مساحة القاعدة = \( 6 \times 6 = 36 \; cm^2 \)
- المساحة الكلية = \( 60 + 36 = 96 \; cm^2 \)
- الحجم = \( \frac{1}{3} \times 36 \times 4 = \frac{144}{3} = 48 \; cm^3 \)
📚 ثانياً: مخروط الدوران
تعريف: مخروط الدوران
مخروط الدوران هو مجسم ناتج عن دوران مثلث قائم حول أحد ضلعي القائمة (محور الدوران).
مكونات مخروط الدوران:
- القاعدة: قرص دائري نصف قطره \( r \)
- القمة: النقطة S (تقع على محور الدوران)
- الارتفاع (h): المسافة العمودية من القمة إلى مركز القاعدة
- المولد (g): طول الضلع المائل (المسافة من القمة إلى أي نقطة على محيط القاعدة)
العلاقة بين \( r \) و \( h \) و \( g \) (نظرية فيثاغورس):
\[ g^2 = r^2 + h^2 \]
🔢 قوانين مخروط الدوران
| القياس | القانون |
|---|---|
| المساحة الجانبية | \( S_{\text{جانبية}} = \pi \times r \times g \) |
| المساحة الكلية | \( S_{\text{كلية}} = \pi \times r \times g + \pi \times r^2 = \pi \times r \times (g + r) \) |
| الحجم | \( V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h \) |
أمثلة محلولة على المخروط:
📌 مثال 2: مخروط دوران
مخروط دوران نصف قطر قاعدته 3 cm وارتفاعه 4 cm. احسب طول المولد والمساحة الجانبية والكلية والحجم. (استعمل \( \pi \approx 3.14 \))
الحل:
- طول المولد: \( g = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \; cm \)
- المساحة الجانبية: \( S_{\text{جانبية}} = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi \approx 47.1 \; cm^2 \)
- المساحة الكلية: \( S_{\text{كلية}} = \pi \times 3 \times (5 + 3) = 24\pi \approx 75.36 \; cm^2 \)
- الحجم: \( V = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = \frac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 4 = 12\pi \approx 37.68 \; cm^3 \)
📝 أمثلة شاملة (BEM)
🏆 مثال شامل — مثل تمرين BEM
هرم رباعي قائم قاعدته مربع طول ضلعه 8 cm، وارتفاع الهرم 3 cm.
- احسب مساحة القاعدة.
- احسب حجم الهرم.
- إذا كان الطول الجانبي 5 cm، احسب المساحة الجانبية والكلية.
- مخروط دوران له نفس مساحة قاعدة الهرم وارتفاعه 6 cm. قارن حجميهما.
الحل:
- مساحة القاعدة = \( 8 \times 8 = 64 \; cm^2 \)
- حجم الهرم = \( \frac{1}{3} \times 64 \times 3 = 64 \; cm^3 \)
- محيط القاعدة = \( 4 \times 8 = 32 \; cm \)
المساحة الجانبية = \( \frac{1}{2} \times 32 \times 5 = 80 \; cm^2 \)
المساحة الكلية = \( 80 + 64 = 144 \; cm^2 \) - نصف قطر قاعدة المخروط: \( \pi r^2 = 64 \) → \( r^2 = \frac{64}{\pi} \) → \( r \approx 4.51 \; cm \)
حجم المخروط = \( \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times 6 = \frac{1}{3} \times \pi \times \frac{64}{\pi} \times 6 = \frac{1}{3} \times 64 \times 6 = 128 \; cm^3 \)
نلاحظ أن حجم المخروط ضعف حجم الهرم (128 مقابل 64) لأن ارتفاعه ضعف ارتفاع الهرم.
🏋️ تمارين إضافية
🔍 تمرين 1 — هرم ثلاثي: قاعدة مثلث قائم ضلعاه 6 cm و 8 cm، ارتفاع الهرم 5 cm. احسب حجمه.
الحل:
- مساحة القاعدة (المثلث القائم) = \( \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \; cm^2 \)
- الحجم = \( \frac{1}{3} \times 24 \times 5 = 40 \; cm^3 \)
🔍 تمرين 2 — مخروط دوران نصف قطر قاعدته 5 cm وارتفاعه 12 cm. احسب طول المولد والمساحة الكلية. (\( \pi = 3.14 \))
الحل:
- \( g = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \; cm \)
- \( S_{\text{كلية}} = \pi \times 5 \times (13 + 5) = \pi \times 5 \times 18 = 90\pi = 282.6 \; cm^2 \)
🔍 تمرين 3 (تحدي) — هرم رباعي حجمه 96 cm³ وارتفاعه 8 cm. جد طول ضلع قاعدته (المربع).
الحل:
- \( V = \frac{1}{3} \times A_{\text{قاعدة}} \times h \) → \( 96 = \frac{1}{3} \times A_{\text{قاعدة}} \times 8 \)
- \( 96 = \frac{8}{3} \times A_{\text{قاعدة}} \) → \( A_{\text{قاعدة}} = \frac{96 \times 3}{8} = 36 \; cm^2 \)
- طول ضلع القاعدة = \( \sqrt{36} = 6 \; cm \)
📋 جدول ملخص قوانين الهرم ومخروط الدوران
| المجسم | المساحة الجانبية | المساحة الكلية | الحجم |
|---|---|---|---|
| الهرم القائم | \( \frac{1}{2} \times P_{\text{قاعدة}} \times l \) | \( S_{\text{جانبية}} + A_{\text{قاعدة}} \) | \( \frac{1}{3} \times A_{\text{قاعدة}} \times h \) |
| مخروط الدوران | \( \pi \times r \times g \) | \( \pi \times r \times (g + r) \) | \( \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h \) |
⚠️ أخطاء شائعة
- ❌ نسيان \( \frac{1}{3} \) في قانون الحجم — الصواب: حجم الهرم والمخروط هو \( \frac{1}{3} \) حجم الموشور والاسطوانة على التوالي
- ❌ الخلط بين الارتفاع (h) والطول الجانبي (l) في الهرم — الارتفاع يمر بمركز القاعدة، أما الطول الجانبي فهو على طول الوجه الجانبي
- ❌ نسيان العلاقة \( g^2 = r^2 + h^2 \) في مخروط الدوران — المولد هو الوتر في مثلث قائم
- ❌ الخلط بين المساحة الجانبية والكلية — الكلية = الجانبية + مساحة القاعدة
💡 نصائح للتلميذ
- ارسم شكلاً تقريبياً لكل مسألة — يساعدك على تصور المجسم
- حدّد المعطيات والمطلوب قبل البدء في الحل
- في تمارين BEM، غالباً ما يطلب مقارنة حجم مجسمين — طبّق القانونين وركّز على المعطيات المشتركة
- تذكّر قانون فيثاغورس لحساب المولد في مخروط الدوران
- لا تنسَ وحدة القياس: المساحة \( cm^2 \) والحجم \( cm^3 \)
📍 دروس مشابهة:
- النسب المثلثية: الجيب وجيب التمام والظل — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط
- نظرية فيثاغورس (النظرية والعكس) — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط
- الحساب على الجذور التربيعية — تبسيط وجمع وضرب الجذور — الرياضيات — الرابعة متوسط