مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
بطاقة الدرس
| المادة | الرياضيات |
| المستوى | السنة الثالثة متوسط |
| الوحدة | القوى (الأسس الصحيحة الموجبة) |
| المدة | حصتان (ساعتان) |
🎯 الأهداف التعليمية
- تعريف القوة ذات الأسس الصحيحة الموجبة
- حساب قوة عدد طبيعي وعشري وكسري
- تطبيق قواعد الضرب والقسمة على القوى
- استخدام خاصية قوة قوة وقوة جداء وقوة خارج القسمة
- الكتابة العلمية للأعداد الكبيرة جداً والصغيرة جداً
📝 تمهيد
نعلم أن الضرب المتكرر يمكن كتابته بطريقة مختصرة: فبدلاً من كتابة \( 2 + 2 + 2 + 2 + 2 \) نكتب \( 2 \times 5 \). وكذلك الحال مع الضرب المتكرر: بدلاً من كتابة \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \) نكتب \( 2^5 \). هذا ما يُسمى القوة أو الأس. في هذا الدرس، سنتعلم كيفية التعامل مع القوى ذات الأسس الصحيحة الموجبة وتطبيقاتها المهمة في الرياضيات والعلوم.
📚 أولاً: مفهوم القوة
تعريف: القوة ذات الأس الصحيح الموجب
إذا كان \( a \) عدداً حقيقياً و \( n \) عدداً طبيعياً غير معدوم (\( n > 0 \))، فإن:
\[ a^n = a \times a \times a \times \dots \times a \; (n \text{ مرة}) \]
نقرأ \( a^n \) كالتالي: “\( a \) أس \( n \)” أو “\( a \) مرفوعة للقوة \( n \)”.
ملاحظة: \( a^1 = a \) (قوة من الدرجة الأولى)
أمثلة:
- \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \) (نقرأ: 2 أس 3)
- \( 5^2 = 5 \times 5 = 25 \) (نقرأ: 5 أس 2 أو 5 تربيع)
- \( 10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000 \)
- \( (-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27 \)
- \( (0.2)^3 = 0.2 \times 0.2 \times 0.2 = 0.008 \)
📌 حالات خاصة:
- \( 1^n = 1 \) for any \( n \)
- \( 0^n = 0 \) for any \( n \neq 0 \)
- \( a^0 = 1 \) for any \( a \neq 0 \) (اتفاقية: أي عدد غير معدوم مرفوع للقوة 0 يساوي 1)
📚 ثانياً: قواعد الحساب على القوى
القاعدة 1: ضرب القوى ذات الأساس نفسه
\[ a^m \times a^n = a^{m + n} \]
مثال: \( 3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6 = 729 \)
للتحقق: \( 3^2 = 9 \) و \( 3^4 = 81 \) و \( 9 \times 81 = 729 \) ← صحيح ✓
القاعدة 2: قسمة القوى ذات الأساس نفسه
\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m – n} \quad (a \neq 0) \]
مثال: \( \frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4 = 625 \)
للتحقق: \( 5^7 = 78125 \) و \( 5^3 = 125 \) و \( 78125 \div 125 = 625 \) ← صحيح ✓
القاعدة 3: قوة قوة
\[ (a^m)^n = a^{m \times n} \]
مثال: \( (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64 \)
للتحقق: \( 2^3 = 8 \) و \( 8^2 = 64 \) ← صحيح ✓
القاعدة 4: قوة جداء
\[ (a \times b)^n = a^n \times b^n \]
مثال: \( (2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \)
القاعدة 5: قوة خارج القسمة
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0) \]
مثال: \( \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125} \)
📚 ثالثاً: الكتابة العلمية
تعريف: الكتابة العلمية
الكتابة العلمية لعدد هي كتابته على الشكل:
\[ a \times 10^n \]
حيث \( 1 \leq a < 10 \) (أي a عدد عشري بين 1 و 10) و \( n \) عدد صحيح نسبي.
تستخدم الكتابة العلمية لكتابة الأعداد الكبيرة جداً أو الصغيرة جداً بطريقة مختصرة.
أمثلة على الكتابة العلمية:
| العدد | الكتابة العلمية |
|---|---|
| \( 450000 \) | \( 4.5 \times 10^5 \) |
| \( 12000000 \) | \( 1.2 \times 10^7 \) |
| \( 0.00035 \) | \( 3.5 \times 10^{-4} \) |
| \( 0.0000005 \) | \( 5 \times 10^{-7} \) |
كيفية تحويل عدد إلى كتابة علمية:
- نحدد \( a \) بوضع الفاصلة بعد أول رقم غير صفري من اليسار
- نعدّ عدد المراتب التي حرّكناها: إن تحركت الفاصلة لليسار فالأس موجب، وإن تحركت لليمين فالأس سالب
مثال: \( 573000 = 5.73 \times 10^5 \) (حرّكنا الفاصلة 5 مراتب لليسار)
مثال: \( 0.00421 = 4.21 \times 10^{-3} \) (حرّكنا الفاصلة 3 مراتب لليمين)
📝 رابعاً: أمثلة محلولة متنوعة
📌 مثال 1: حساب قوى
احسب ما يلي: \( 4^3 \)، \( (-2)^4 \)، \( (-1)^{2024} \)، \( 10^5 \)
الحل:
- \( 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \)
- \( (-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16 \) (لاحظ: الناتج موجب لأن الأس زوجي)
- \( (-1)^{2024} = 1 \) (لأن الأس زوجي)
- \( 10^5 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 100000 \)
📌 مثال 2: تبسيط عبارات قوى
بسّط العبارات التالية:
أ) \( 2^3 \times 2^5 \) ب) \( \frac{7^8}{7^2} \) ج) \( (3^4)^2 \) د) \( (5 \times 4)^3 \)
الحل:
- أ) \( 2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256 \)
- ب) \( \frac{7^8}{7^2} = 7^{8-2} = 7^6 = 117649 \)
- ج) \( (3^4)^2 = 3^{4 \times 2} = 3^8 = 6561 \)
- د) \( (5 \times 4)^3 = 5^3 \times 4^3 = 125 \times 64 = 8000 \)
📌 مثال 3: كتابة علمية
اكتب الأعداد التالية بالكتابة العلمية:
أ) \( 8500000 \) ب) \( 0.000023 \) ج) \( 945000000 \)
الحل:
- أ) \( 8500000 = 8.5 \times 10^6 \) (حرّكنا الفاصلة 6 مراتب لليسار)
- ب) \( 0.000023 = 2.3 \times 10^{-5} \) (حرّكنا الفاصلة 5 مراتب لليمين)
- ج) \( 945000000 = 9.45 \times 10^8 \) (حرّكنا الفاصلة 8 مراتب لليسار)
🏋️ خامساً: تمارين إضافية مع الحل
🔍 تمرين 1 — احسب: \( 6^2 \)، \( (-3)^3 \)، \( (-1)^{2025} \)، \( 10^6 \)
الحل:
- \( 6^2 = 36 \)
- \( (-3)^3 = -27 \) (لأن الأس فردي)
- \( (-1)^{2025} = -1 \) (لأن الأس فردي)
- \( 10^6 = 1000000 \)
🔍 تمرين 2 — بسّط: \( 3^4 \times 3^7 \)، \( \frac{2^{10}}{2^3} \)، \( \left(\frac{3}{4}\right)^2 \)
الحل:
- \( 3^4 \times 3^7 = 3^{11} = 177147 \)
- \( \frac{2^{10}}{2^3} = 2^{7} = 128 \)
- \( \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \)
🔍 تمرين 3 — اكتب بالكتابة العلمية: \( 0.00047 \)، \( 3600000 \)
الحل:
- \( 0.00047 = 4.7 \times 10^{-4} \)
- \( 3600000 = 3.6 \times 10^6 \)
📋 جدول ملخص القوانين
| القاعدة | الصيغة | مثال |
|---|---|---|
| ضرب القوى | \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) | \( 2^3 \times 2^4 = 2^7 \) |
| قسمة القوى | \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) | \( \frac{5^6}{5^2} = 5^4 \) |
| قوة قوة | \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) | \( (3^2)^3 = 3^6 \) |
| قوة جداء | \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \) | \( (2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4 \) |
| قوة خارج القسمة | \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \) | \( \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} \) |
| قوة العدد 10 | \( 10^n = 1 \) متبوع بـ n صفراً | \( 10^5 = 100000 \) |
⚠️ أخطاء شائعة
- ❌ \( 2^3 = 6 \) ← الصواب: \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \) (الضرب المتكرر وليس \( 2 \times 3 \))
- ❌ \( 2^3 \times 2^4 = 2^{12} \) ← الصواب: \( 2^{3+4} = 2^7 \) (نجمع الأسس، لا نضربها)
- ❌ \( (2 + 3)^2 = 2^2 + 3^2 \) ← الصواب: \( (2 + 3)^2 = 5^2 = 25 \) وأيضاً \( 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \) (القاعدة تنطبق على الجداء فقط وليس الجمع)
- ❌ \( (-3)^2 = -9 \) ← الصواب: \( (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9 \) (مربع عدد سالب موجب)
💡 نصائح للتلميذ
- احفظ قواعد القوى جيداً — ستساعدك في تبسيط العبارات الرياضية بسرعة
- انتبه لإشارة الأساس: \( (-a)^n \) تختلف عن \( -(a^n) \)
- عند تحويل عدد إلى كتابة علمية، تأكد أن \( 1 \leq a < 10 \)
- تدرب على حساب القوى ذهنياً — سيزيد من سرعتك في حل المسائل
- تذكّر: الكتابة العلمية مفيدة جداً في الفيزياء والكيمياء والعلوم
📍 دروس مشابهة:
- الحساب الحرفي — النشر والتحليل — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط
- الدوال الخطية — مفهومها وتمثيلها البياني — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط
- الاحتمالات — مفهومها وقوانينها الأساسية — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط