النسب المثلثية: الجيب وجيب التمام والظل — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

تُعتبر النسب المثلثية (الثلاثية) من أهم الدروس في مادة الرياضيات للسنة الرابعة متوسط، حيث تمثل أساساً لفهم العلاقات بين أضلاع المثلث القائم وزواياه. هذه المفاهيم ضرورية لحل مسائل الهندسة في امتحان شهادة التعليم المتوسط (BEM) وتطبيقاتها تمتد إلى الفيزياء والهندسة في الحياة العملية.

الأهداف التعليمية

• أن يتعرف التلميذ على النسب المثلثية الثلاث: الجيب (Sinus) وجيب التمام (Cosinus) والظل (Tangente)
• أن يستنتج العلاقات بين النسب المثلثية في مثلث قائم
• أن يحسب النسب المثلثية لزاوية حادة في مثلث قائم
• أن يستخدم النسب المثلثية لحساب أطوال أضلاع مجهولة في مثلث قائم
• أن يستخدم النسب المثلثية لحساب قياس زاوية مجهولة

الشرح المبسط

المثلث القائم: هو مثلث له زاوية قائمة (قياسها 90 درجة). في المثلث القائم، الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة وهو أطول أضلاع المثلث.

تعريف النسب المثلثية: في مثلث قائم ABC حيث الزاوية القائمة عند A، نرمز للزاوية الحادة عند B بالرمز B̂ (أو θ). نعرف النسب المثلثية كما يلي:

1. جيب الزاوية (Sinus): يُرمز له بالرمز sin(θ) ويساوي نسبة طول الضلع المقابل للزاوية θ إلى طول الوتر.
القانون: sin(θ) = (الضلع المقابل للزاوية θ) / (الوتر)

2. جيب تمام الزاوية (Cosinus): يُرمز له بالرمز cos(θ) ويساوي نسبة طول الضلع المجاور للزاوية θ إلى طول الوتر.
القانون: cos(θ) = (الضلع المجاور للزاوية θ) / (الوتر)

3. ظل الزاوية (Tangente): يُرمز له بالرمز tan(θ) ويساوي نسبة طول الضلع المقابل للزاوية θ إلى طول الضلع المجاور لها.
القانون: tan(θ) = (الضلع المقابل للزاوية θ) / (الضلع المجاور للزاوية θ)

ملاحظة مهمة: النسب المثلثية لا تعتمد على أبعاد المثلث، بل تعتمد فقط على قياس الزاوية. لذلك، لأي زاوية معينة، تكون sin(θ) و cos(θ) و tan(θ) قيمًا ثابتة بغض النظر عن حجم المثلث.

العلاقة بين النسب المثلثية: توجد علاقة مهمة بين النسب المثلثية للزاوية نفسها:
tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
كما توجد العلاقة: sin²(θ) + cos²(θ) = 1 (هذه تسمى المعادلة الأساسية في حساب المثلثات).

زاويتان متتامتان: إذا كانت زاويتان متتامتين (مجموعهما 90°)، فإن:
sin(θ) = cos(90° – θ) و cos(θ) = sin(90° – θ)

أمثلة محلولة

المثال 1: حساب النسب المثلثية في مثلث قائم

ليكن ABC مثلثاً قائماً في A حيث: AB = 3cm و AC = 4cm و BC = 5cm. احسب sin(B̂) و cos(B̂) و tan(B̂).

الحل:
بالنسبة للزاوية B̂:
– الضلع المقابل للزاوية B̂ هو AC = 4cm
– الضلع المجاور للزاوية B̂ هو AB = 3cm
– الوتر هو BC = 5cm

sin(B̂) = AC/BC = 4/5 = 0.8
cos(B̂) = AB/BC = 3/5 = 0.6
tan(B̂) = AC/AB = 4/3 ≈ 1.333

المثال 2: إيجاد طول ضلع مجهول باستعمال النسب المثلثية

في مثلث قائم ABC قائم في A، لدينا: AC = 6cm والزاوية Ĉ = 30°. أحسب طول الوتر BC.

الحل:
بالنسبة للزاوية Ĉ:
– الضلع المقابل للزاوية Ĉ هو AB (مجهول)
– الضلع المجاور للزاوية Ĉ هو AC = 6cm
– الوتر هو BC (المطلوب)

نستخدم جيب التمام (cos) لأن لدينا الضلع المجاور ونريد الوتر:
cos(Ĉ) = AC/BC
cos(30°) = 6/BC
0.866 = 6/BC
BC = 6/0.866 ≈ 6.93cm

المثال 3: إيجاد قياس زاوية مجهولة

في مثلث قائم ABC قائم في A، لدينا: AB = 8cm و BC = 10cm. أحسب قياس الزاوية B̂.

الحل:
بالنسبة للزاوية B̂:
– الضلع المجاور للزاوية B̂ هو AB = 8cm
– الوتر هو BC = 10cm

نستخدم جيب التمام:
cos(B̂) = AB/BC = 8/10 = 0.8
إذن: B̂ = cos⁻¹(0.8) ≈ 36.87°

تمارين تطبيقية

1. مثلث قائم ABC قائم في A، فيه AB = 5cm و AC = 12cm و BC = 13cm. احسب sin(B̂) و cos(B̂) و tan(B̂).
2. في مثلث قائم ABC قائم في A، لدينا AB = 4cm والزاوية B̂ = 60°. أحسب طولي AC و BC.
3. مثلث قائم ABC قائم في A، فيه AC = 8cm و BC = 17cm. احسب قياس الزاوية B̂ والزاوية Ĉ.
4. بين صحة العلاقة sin²(θ) + cos²(θ) = 1 بالنسبة للزاوية B̂ في المثال 1 (حيث sin = 0.8 و cos = 0.6).
5. سلم طوله 5 أمتار يستند إلى حائط رأسي، قاعدته تبعد 3 أمتار عن الحائط. احسب الزاوية التي يصنعها السلم مع الأرض (استعمل النسب المثلثية).

نشاط منزلي

ابحث في محيط منزلك عن تطبيقات عملية للنسب المثلثية (مثل: سلالم، أسطح مائلة، أضواء موجهة). اختر أحد هذه التطبيقات وخذ قياساته ثم استخدم النسب المثلثية لحساب زاوية ميلانه أو ارتفاعه. سجل نتائجك في كراس الرياضيات وشاركها مع زملائك في الحصة القادمة.

---

📍 دروس مشابهة

• نظرية فيثاغورس (النظرية والعكس) — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط
• الحساب على الجذور التربيعية — تبسيط وجمع وضرب الجذور — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط