مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
📘 بطاقة الدرس
| العنصر | التفاصيل |
|---|---|
| المستوى | السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم وتكنولوجيا — جذع مشترك آداب) |
| المادة | الرياضيات |
| الوحدة | المعادلات من الدرجة الثانية بمجهول واحد |
| المدة الزمنية | 3 حصص (4 ساعات و30 دقيقة) |
| الأهمية | 🔴 أساسي — هذه المعادلات هي حجر الزاوية لدراسة الدوال التربيعية والاشتقاق والتكامل في السنوات اللاحقة |
| المعرفة المسبقة | المعادلات من الدرجة الأولى، المتطابقات الشهيرة، العمليات على الأعداد الحقيقية |
🎯 الأهداف التعليمية
بعد دراسة هذا الدرس، سيكون التلميذ قادراً على:
- التعرف على المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد وكتابتها على الشكل \(ax^2+bx+c=0\)
- حساب المميز \(\Delta\) (دلتا) وتحديد إشارته
- حل معادلة من الدرجة الثانية في الحالات الثلاث: \(\Delta>0\)، \(\Delta=0\)، \(\Delta<0\)
- تحليل ثلاثي الحدود إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى
- تحديد إشارة ثلاثي الحدود \(ax^2+bx+c\)
- تطبيق المعادلات من الدرجة الثانية في مسائل الحياة الواقعية
🧠 المفاهيم الأساسية
📖 تعريف: المعادلة من الدرجة الثانية
المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد \(x\) هي معادلة تكتب على الشكل:
\\[ ax^2 + bx + c = 0 \\]
حيث:
- \(a\) و\(b\) و\(c\) أعداد حقيقية معلومة (معاملات)
- \(a \neq 0\) (إذا كان \(a=0\) تصبح المعادلة من الدرجة الأولى)
- \(x\) هو المجهول المراد إيجاد قيمته (قيمه)
📖 تعريف: المميز \(\Delta\) (دلتا)
المميز \(\Delta\) (اقرأ: دلتا) هو عبارة تحدد طبيعة حلول المعادلة من الدرجة الثانية، ويحسب بالعلاقة:
\\[ \Delta = b^2 – 4ac \\]
يمكن اعتبار \(\Delta\) بمثابة “مقياس” يخبرنا بعدد الحلول ونوعها قبل أن نبدأ الحل.
📐 القواعد والنظريات
📌 نظرية: طريقة حل المعادلة \(ax^2+bx+c=0\)
لحل المعادلة من الدرجة الثانية \(ax^2+bx+c=0\) حيث \(a \neq 0\)، نحسب المميز \(\Delta = b^2-4ac\)، ثم ندرس الحالات التالية:
| الحالة | \(\Delta\) | عدد الحلول | الصيغة |
|---|---|---|---|
| مميز موجب | \(\Delta > 0\) | حلان حقيقيان مختلفان | \[x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},\quad x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\] |
| مميز معدوم | \(\Delta = 0\) | حل وحيد مكرر (مضاعف) | \[x_0 = -\frac{b}{2a}\] |
| مميز سالب | \(\Delta < 0\) | لا يوجد حل في \(\mathbb{R}\) | \(\emptyset\) (المجموعة الخالية) |
📌 نظرية: تحليل ثلاثي الحدود (التعميل)
إذا كانت المعادلة \(ax^2+bx+c=0\) لها حلان \(x_1\) و \(x_2\) (حقيقيين قد يكونان متساويين)، فإنه يمكن تحليل (تعميل) ثلاثي الحدود كالتالي:
\\[ ax^2 + bx + c = a(x – x_1)(x – x_2) \\]
حالة خاصة: إذا كان \(\Delta < 0\) فلا يمكن التحليل في \(\mathbb{R}\).
📌 نظرية: إشارة ثلاثي الحدود \(ax^2+bx+c\)
إشارة العبارة \(ax^2+bx+c\) تتحدد حسب إشارة \(\Delta\) وإشارة \(a\):
| \(\Delta\) | إشارة \(ax^2+bx+c\) |
|---|---|
| \(\Delta < 0\) | نفس إشارة \(a\) (لكل \(x \in \mathbb{R}\)) |
| \(\Delta = 0\) | نفس إشارة \(a\) (لكل \(x \neq x_0\)) وتنعدم عند \(x = x_0\) |
| \(\Delta > 0\) | إشارة \(a\) خارج المجال \([x_1, x_2]\)، وإشارة \(-a\) بين \(x_1\) و \(x_2\) (حيث \(x_1 < x_2\)) \[ \begin{cases} ax^2+bx+c > 0 \quad \text{لـ } x \in ]-\infty, x_1[ \cup ]x_2, +\infty[ \\ ax^2+bx+c < 0 \quad \text{لـ } x \in ]x_1, x_2[ \end{cases} \] |
قاعدة الإشارة (الذاكرة): “خارج الجذرين مثل \(a\)، بين الجذرين عكس \(a\)” — إذا كان \(\Delta > 0\)
💡 أمثلة محلولة
📝 المثال 1: \(\Delta > 0\) — حلان حقيقيان مختلفان
المعادلة: \(2x^2 – 5x + 2 = 0\)
الحل:
الخطوة 1: نحدد المعاملات: \(a=2\)، \(b=-5\)، \(c=2\)
الخطوة 2: نحسب المميز:
\\[ \Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4(2)(2) = 25 – 16 = 9 \\]
الخطوة 3: بما أن \(\Delta = 9 > 0\)، للمعادلة حلان حقيقيان مختلفان:
\\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \\] \\[ x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) – \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{5 – 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \\]
التحقق: \(2(2)^2 – 5(2) + 2 = 8 – 10 + 2 = 0\) ✅
\(2(\frac{1}{2})^2 – 5(\frac{1}{2}) + 2 = 2(\frac{1}{4}) – \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{2} – \frac{5}{2} + \frac{4}{2} = 0\) ✅
إذن مجموعة الحلول: \(\boxed{S = \left\{\frac{1}{2}, 2\right\}}\)
📝 المثال 2: \(\Delta = 0\) — حل مضاعف
المعادلة: \(x^2 – 6x + 9 = 0\)
الحل:
الخطوة 1: نحدد المعاملات: \(a=1\)، \(b=-6\)، \(c=9\)
الخطوة 2: نحسب المميز:
\\[ \Delta = b^2 – 4ac = (-6)^2 – 4(1)(9) = 36 – 36 = 0 \\]
الخطوة 3: بما أن \(\Delta = 0\)، للمعادلة حل وحيد مكرر (مضاعف):
\\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3 \\]
ملاحظة: يمكننا ملاحظة أن \(x^2 – 6x + 9 = (x-3)^2\) (مربع كامل)، وهذا يؤكد أن الحل هو \(x=3\).
التحقق: \((3)^2 – 6(3) + 9 = 9 – 18 + 9 = 0\) ✅
إذن مجموعة الحلول: \(\boxed{S = \left\{3\right\}}\)
📝 المثال 3: \(\Delta < 0\) — لا يوجد حل حقيقي
المعادلة: \(3x^2 + 2x + 1 = 0\)
الحل:
الخطوة 1: نحدد المعاملات: \(a=3\)، \(b=2\)، \(c=1\)
الخطوة 2: نحسب المميز:
\\[ \Delta = b^2 – 4ac = (2)^2 – 4(3)(1) = 4 – 12 = -8 \\]
الخطوة 3: بما أن \(\Delta = -8 < 0\)، لا يوجد حل حقيقي للمعادلة.
إذن مجموعة الحلول: \(\boxed{S = \emptyset}\) (المجموعة الخالية)
تفسير بياني: منحنى الدالة \(f(x)=3x^2+2x+1\) هو قطع مكافئ مفتوح للأعلى (\(a=3>0\)) ولا يقطع محور \(x\) لأنه يقع بالكامل فوقه.
📝 المثال 4: حل معادلة من الشكل \(ax^2+bx=0\) (عندما \(c=0\))
المعادلة: \(4x^2 – 12x = 0\)
الحل:
عندما يكون \(c = 0\)، نستخرج \(x\) كعامل مشترك (طريقة التحليل البسيطة):
\\[ 4x^2 – 12x = 4x(x – 3) = 0 \\]
إما \(4x = 0 \Rightarrow x = 0\) أو \(x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)
إذن مجموعة الحلول: \(\boxed{S = \left\{0, 3\right\}}\)
ملاحظة: يمكننا أيضاً حساب \(\Delta\) ولكن التحليل أسرع هنا.
📝 المثال 5: حل معادلة من الشكل \(ax^2+c=0\) (عندما \(b=0\))
المعادلة: \(2x^2 – 8 = 0\)
الحل:
عندما يكون \(b = 0\)، ننقل ونقسم ثم نأخذ الجذر التربيعي:
\\[ 2x^2 – 8 = 0 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \\] \\[ x = \sqrt{4} = 2 \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{4} = -2 \\]
إذن مجموعة الحلول: \(\boxed{S = \left\{-2, 2\right\}}\)
تنبيه: تذكّر دائماً أن المعادلة \(x^2 = k\) لها حلان إذا كان \(k > 0\) (\(x = \pm\sqrt{k}\))، وحل وحيد \(x = 0\) إذا كان \(k = 0\)، وليس لها حل إذا كان \(k < 0\).
🏆 تمارين بكالوريا (مستوى متقدم)
🏆 تمرين 1: معادلة تحتوي على مقامات
حل المعادلة:
\\[ \frac{2}{x-1} = \frac{x+3}{x+2} \\]
الحل:
الخطوة 1: نحدد مجال التعريف (المقامات ≠ 0):
\(x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\)
\(x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\)
إذن \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 1\}\)
الخطوة 2: نضرب طرفي المعادلة في \((x-1)(x+2)\) (الضرب التبادلي):
\\[ 2(x+2) = (x+3)(x-1) \\]
الخطوة 3: ننشر الطرفين:
\\[ 2x + 4 = x^2 – x + 3x – 3 \\] \\[ 2x + 4 = x^2 + 2x – 3 \\]
الخطوة 4: ننقل كل الحدود إلى طرف واحد:
\\[ 2x + 4 – x^2 – 2x + 3 = 0 \\] \\[ -x^2 + 7 = 0 \\] \\[ x^2 = 7 \\]
الخطوة 5: الحل:
\\[ x = \sqrt{7} \approx 2.646 \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{7} \approx -2.646 \\]
بما أن \(\sqrt{7} \neq 1\) و \(\sqrt{7} \neq -2\) و \(-\sqrt{7} \neq -2\)، كلا الحلين مقبولان.
إذن مجموعة الحلول: \(\boxed{S = \left\{-\sqrt{7}, \sqrt{7}\right\}}\)
🏆 تمرين 2: مسألة حياتية — هندسة
المسألة: قطعة أرض مستطيلة الشكل طولها يزيد عن عرضها بمقدار 5 أمتار، ومساحتها 84 متراً مربعاً. أوجد بعدي قطعة الأرض.
الحل:
نفرض أن عرض قطعة الأرض = \(x\) متر. إذن طولها = \(x + 5\) متر.
المساحة = الطول × العرض:
\\[ x(x + 5) = 84 \\] \\[ x^2 + 5x – 84 = 0 \\]
نحسب المميز: \(\Delta = (5)^2 – 4(1)(-84) = 25 + 336 = 361\)
\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{361} = 19\)
\\[ x_1 = \frac{-5 + 19}{2(1)} = \frac{14}{2} = 7 \\] \\[ x_2 = \frac{-5 – 19}{2(1)} = \frac{-24}{2} = -12 \quad (\text{مرفوض لأن الطول لا يمكن أن يكون سالباً}) \\]
إذن العرض = 7 أمتار، والطول = \(7 + 5 = 12\) متراً.
التحقق: \(12 \times 7 = 84\) متراً مربعاً ✅
\(\boxed{\text{البعدان: 7 م × 12 م}}\)
📊 جدول ملخص القوانين
| المفهوم | القانون |
|---|---|
| الصيغة العامة للمعادلة | \[ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0\] |
| المميز (دلتا) | \[\Delta = b^2 – 4ac\] |
| حلان (\(\Delta > 0\)) | \[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\] |
| حل وحيد (\(\Delta = 0\)) | \[x_0 = -\frac{b}{2a}\] |
| تحليل ثلاثي الحدود | \[ax^2 + bx + c = a(x – x_1)(x – x_2)\] |
| مجموع الجذرين | \[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\] |
| جداء الجذرين | \[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\] |
📝 تمارين إضافية مع الحلول
🔍 تمرين 1: حل المعادلات التالية
حل المعادلات التالية في \(\mathbb{R}\):
أ) \(x^2 – 5x + 6 = 0\)
ب) \(4x^2 + 4x + 1 = 0\)
ج) \(2x^2 + 3x + 5 = 0\)
الحل:
أ) \(a=1, b=-5, c=6\):
\(\Delta = 25 – 24 = 1 > 0\)
\(x_1 = \frac{5+1}{2} = 3\)، \(x_2 = \frac{5-1}{2} = 2\)
\(\boxed{S = \{2, 3\}}\)
ب) \(a=4, b=4, c=1\):
\(\Delta = 16 – 16 = 0\)
\(x_0 = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}\)
\(\boxed{S = \left\{-\frac{1}{2}\right\}}\)
ج) \(a=2, b=3, c=5\):
\(\Delta = 9 – 40 = -31 < 0\)
\(\boxed{S = \emptyset}\)
🔍 تمرين 2: إشارة ثلاثي الحدود
حدد إشارة العبارات التالية:
أ) \(f(x) = x^2 – 4x + 3\)
ب) \(g(x) = -2x^2 + 4x – 2\)
ج) \(h(x) = x^2 + x + 1\)
الحل:
أ) \(\Delta = 16 – 12 = 4 > 0\)، \(a=1>0\)
\(x_1 = 1\)، \(x_2 = 3\)
\(f(x) > 0\) لـ \(x \in ]-\infty, 1[ \cup ]3, +\infty[\)
\(f(x) < 0\) لـ \(x \in ]1, 3[\)
\(f(1) = f(3) = 0\)
ب) \(\Delta = 16 – 16 = 0\)، \(a=-2<0\)
\(x_0 = 1\)
\(g(x) < 0\) لكل \(x \neq 1\)، و \(g(1) = 0\)
ج) \(\Delta = 1 – 4 = -3 < 0\)، \(a=1>0\)
\(h(x) > 0\) لكل \(x \in \mathbb{R}\) (دائماً موجبة)
🔍 تمرين 3: إنشاء معادلة من جذريها
أنشئ معادلة من الدرجة الثانية جذراها \(x_1 = 4\) و \(x_2 = -3\).
الحل:
نستخدم العلاقة: \((x – x_1)(x – x_2) = 0\)
\\[ (x – 4)(x + 3) = 0 \\] \\[ x^2 + 3x – 4x – 12 = 0 \\] \\[ x^2 – x – 12 = 0 \\]
التحقق: \(\Delta = 1 + 48 = 49 > 0\)
\(x_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4\) ✅
\(x_2 = \frac{1 – 7}{2} = -3\) ✅
\(\boxed{x^2 – x – 12 = 0}\)
🔍 تمرين 4: تطبيق — مسألة عددية
جد عددين حقيقيين مجموعهما 7 وجداؤهما 12.
الحل:
نفرض أن العددين هما \(x\) و \(y\).
\\[ \begin{cases} x + y = 7 \\ x \cdot y = 12 \end{cases} \\]
من المعادلة الأولى: \(y = 7 – x\)
نعوض في الثانية: \(x(7 – x) = 12\)
\\[ 7x – x^2 = 12 \\] \\[ -x^2 + 7x – 12 = 0 \\] \\[ x^2 – 7x + 12 = 0 \\]
\(\Delta = 49 – 48 = 1\)
\(x_1 = \frac{7+1}{2} = 4\)، \(x_2 = \frac{7-1}{2} = 3\)
إذا كان \(x = 4\) فإن \(y = 3\)
إذا كان \(x = 3\) فإن \(y = 4\)
\(\boxed{\text{العددان هما 3 و 4}}\)
⚠️ أخطاء شائعة — احذر منها!
- ❌ نسيان أن \(a \neq 0\): إذا كان \(a = 0\)، المعادلة ليست من الدرجة الثانية، بل من الدرجة الأولى.
- ❌ إشارة \(\Delta\) الخاطئة: تذكّر أن \(\Delta = b^2 – 4ac\) وليس \(b^2 + 4ac\) ولا \(\sqrt{b^2 – 4ac}\).
- ❌ إشارة \(b\) في الصيغة: في \(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)، تذكّر أن \(-b\) وليس \(b\).
- ❌ نسيان الحالة \(\Delta < 0\): لا تكتب \(S = \{\}\) أو \(S = \varnothing\) — اكتب \(S = \emptyset\).
- ❌ إهمال التحقق: بعد إيجاد الحلول، عوّض في المعادلة الأصلية للتحقق من صحتها.
- ❌ الخلط بين إشارة \(\Delta\) وإشارة \(a\): إشارة \(\Delta\) تحدد عدد الحلول، وإشارة \(a\) (مع \(\Delta\)) تحدد إشارة ثلاثي الحدود.
- ❌ نسيان المجال: عند وجود مقامات أو جذور، يجب تحديد مجال التعريف أولاً.
💡 نصائح للتلميذ
- احفظ خطوات الحل بالترتيب: (1) اكتب \(a,b,c\) → (2) احسب \(\Delta\) → (3) ادرس إشارة \(\Delta\) → (4) طبق الصيغة المناسبة.
- استخدم الآلة الحاسبة بذكاء: تحقق من حسابات \(\Delta\) لأن خطأً واحداً في الإشارة يغير الحل كلياً.
- تذكّر العلاقات بين الجذور: \((x_1 + x_2 = -b/a)\) و \((x_1 \cdot x_2 = c/a)\) — مفيدة للتحقق السريع.
- ارسم التمثيل البياني: تخيل القطع المكافئ: إذا كان \(a>0\) مفتوح للأعلى، وإذا كان \(a<0\) مفتوح للأسفل، ونقاط تقاطعه مع محور \(x\) هي حلول المعادلة.
- التدرج في التمارين: ابدأ بالأمثلة البسيطة \((c=0)\) ثم \((b=0)\) ثم العامة. انتقل بعدها إلى المسائل الكلامية.
- كرّر التحليل (التعميل): إتقان تحليل ثلاثي الحدود يسهل عليك دراسة إشارة الدوال في السنوات القادمة.
📍 دروس مشابهة:
- الدوال المرجعية: الدوال الخطية والتآلفية والتربيعية – الأولى ثانوي (رياضيات)
- الأعداد الحقيقية: درس شامل مع تمارين محلولة – الأولى ثانوي (رياضيات)
- الأعداد الحقيقية والعمليات عليها: القوى والجذور ومقارنة الأعداد – الأولى ثانوي (رياضيات)
- الجداء السلمي في المستوى – الثانية ثانوي (رياضيات)