المثلثات ونظرية طاليس — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

الثالثة متوسط, تربية وتعليم, دروس المتوسط ضع تعليق

المثلثات ونظرية طاليس — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط

📚 بطاقة الدرس:
المادة: الرياضيات
المستوى: السنة الثالثة متوسط
الوحدة: الهندسة — نظرية طاليس
المدة: ساعة واحدة

أهداف التعلم:

أن يتعرف المتعلم على نظرية طاليس.
أن يطبق نظرية طاليس في حساب الأطوال المجهولة.
أن يميز بين الحالات المباشرة والعكسية للنظرية.
أن يحل مسائل هندسية باستخدام النظرية.

تمهيد:

طاليس هو عالم رياضيات يوناني قديم عاش في القرن السادس قبل الميلاد. استطاع قياس ارتفاع الأهرامات باستخدام ظلها وظل عصا عمودية. كيف فعل ذلك؟ باستخدام النسب والتناسب في المثلثات.

أولاً: نظرية طاليس المباشرة:

🔺 نظرية طاليس:
إذا كان مستقيمان متقاطعان في نقطة A، وقطعا بمستقيمين متوازيين (d₁) و(d₂) في النقط B، C على الأول و B’، C’ على الثاني (بشرط BB’ ∥ CC’)، فإن:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AB’}{AC’} = \frac{BB’}{CC’} \]

بصيغة أخرى: إذا كان لدينا مثلث ABC، ورسمنا مستقيماً موازياً لأحد أضلاعه (ليكن BC) يقطع الضلعين الآخرين في نقطتين (M على AB، N على AC)، فإن:

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \]

ثانياً: عكس نظرية طاليس:

🔄 عكس نظرية طاليس:
إذا كانت النقاط A، B، C على استقامة واحدة، والنقاط A، B’، C’ على استقامة واحدة أخرى، وكان:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AB’}{AC’} \]
فإن المستقيمين (BB’) و (CC’) متوازيان.

ثالثاً: تطبيقات نظرية طاليس:

حساب أطوال مجهولة في أشكال هندسية فيها تواز.
إثبات التوازي بين مستقيمين باستخدام النسب.
تقسيم قطعة مستقيمة بنسبة معينة.
قياس ارتفاعات الأجسام التي يصعب الوصول إليها (الأشجار، المباني).

🧮 مثال 1 — حساب طول مجهول:
في المثلث ABC، لدينا MN ∥ BC، حيث M ∈ [AB]، N ∈ [AC].
إذا كان AM = 4cm، AB = 10cm، AN = 3cm، AC = ?

الحل: بتطبيق نظرية طاليس:
\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \] \[ \frac{4}{10} = \frac{3}{AC} \] \[ AC = \frac{3 \times 10}{4} = \frac{30}{4} = 7.5cm \]

🧮 مثال 2 — تطبيق عكس النظرية:
ABC مثلث فيه AB = 12cm، AC = 18cm. النقطة M تنتمي إلى [AB] حيث AM = 4cm، والنقطة N تنتمي إلى [AC] حيث AN = 6cm. هل (MN) ∥ (BC)؟

الحل:
\[ \frac{AM}{AB} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] \[ \frac{AN}{AC} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \] بما أن \[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \]، والنقاط A، M، B على استقامة والنقاط A، N، C على استقامة، فإن MN ∥ BC (حسب عكس نظرية طاليس).

تمارين إضافية:

تمرين 1: في مثلث ABC، M ∈ [AB]، N ∈ [AC]، MN ∥ BC. إذا كان AM = 6cm، AB = 15cm، BC = 10cm. احسب MN.

تمرين 2: في مثلث EFG، H ∈ [EF]، I ∈ [EG]. إذا كان EH = 3cm، EF = 9cm، EI = 5cm، EG = 15cm. هل HI ∥ FG؟

📝 خلاصة:
نظرية طاليس أداة قوية في الهندسة تسمح بحساب الأطوال المجهولة في المثلثات باستخدام النسب بين الأضلاع عندما يكون مستقيم موازياً لأحد الأضلاع. عكس النظرية يستخدم لإثبات التوازي بين مستقيمين. هذه النظرية من التطبيقات الأساسية في الهندسة والقياسات العملية.

المثلثات ونظرية طاليس — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري