الدوال المرجعية: الدوال الخطية والتآلفية والتربيعية – الأولى ثانوي (رياضيات) – المنهاج الجزائري

الدوال المرجعية: الدوال الخطية والتآلفية والتربيعية

الأولى ثانوي (رياضيات) – المنهاج الجزائري

1. تعريف الدالة

الدالة هي قاعدة تربط كل عنصر x من مجموعة الانطلاق (مجموعة التعريف) بعنصر وحيد y من مجموعة الوصول. نكتب:

f: x → f(x) أو y = f(x)

2. الدالة الخطية

تعريف: دالة من الشكل f(x) = ax حيث a عدد حقيقي (معامل التوجيه).

خصائص الدالة الخطية:

• مجموعة التعريف: ℝ
• التمثيل البياني: مستقيم يمر من أصل المعلم (0, 0).
• معامل التوجيه a يحدد اتجاه المستقيم:
  • إذا كان a > 0: الدالة متزايدة (المستيم صاعد).
  • إذا كان a < 0: الدالة متناقصة (المستقيم نازل).
  • إذا كان a = 0: الدالة ثابتة (f(x) = 0).
• إشارة الدالة: f(x) لها نفس إشارة a عندما x > 0، وعكس إشارة a عندما x < 0.

مثال: f(x) = 3x (a = 3 > 0 → تزايد). f(x) = −2x (a = −2 < 0 → تناقص).

لرسم الدالة الخطية، نحتاج نقطتين: (0, 0) و (1, a).

3. الدالة التآلفية

تعريف: دالة من الشكل f(x) = ax + b حيث a و b عددان حقيقيان.

• a: معامل التوجيه (يحدد اتجاه التزايد/التناقص).
• b: نقطة التقاطع مع محور التراتيب (نقطة (0, b)).

خصائص الدالة التآلفية:

• مجموعة التعريف: ℝ
• التمثيل البياني: مستقيم لا يمر بالضرورة من أصل المعلم.
• التقاطع مع محور الفواصل (حل المعادلة f(x) = 0): x = −b/a (إذا a ≠ 0).
• التقاطع مع محور التراتيب: (0, b).
• التزايد والتناقص:
  • a > 0: الدالة متزايدة تماماً على ℝ.
  • a < 0: الدالة متناقصة تماماً على ℝ.
  • a = 0: الدالة ثابتة f(x) = b.

إشارة الدالة التآلفية:

إذا كان a ≠ 0، تكون f(x) = ax + b:

• معاكسة لإشارة a عندما x < −b/a
• منعدمة عندما x = −b/a
• موافقة لإشارة a عندما x > −b/a

مثال: f(x) = 2x − 4. a = 2 > 0 (متزايدة). نقطة التقاطع مع محور التراتيب: (0, −4). نقطة التقاطع مع محور الفواصل: x = 2.

جدول الإشارة:

x	−∞	2	+∞
f(x) = 2x − 4	−	0	+

4. الدالة التربيعية

تعريف: دالة من الشكل f(x) = ax² حيث a ≠ 0.

خصائص الدالة التربيعية:

• مجموعة التعريف: ℝ
• التمثيل البياني: قطع مكافئ (Parabola) رأسه في أصل المعلم (0, 0).
• محور التناظر: محور التراتيب (المعادلة x = 0).
• اتجاه التقعر:
  • a > 0: القطع مفتوح للأعلى (مقعّر نحو الأعلى)، الدالة تتناقص ثم تتزايد.
  • a < 0: القطع مفتوح للأسفل (مقعّر نحو الأسفل)، الدالة تتزايد ثم تتناقص.
• رأس القطع: النقطة (0, 0) وهي نقطة صغرى (إذا a > 0) أو نقطة عظمى (إذا a < 0).
• الزوجية: f(−x) = a(−x)² = ax² = f(x) → دالة زوجية (منحناها متناظر بالنسبة لمحور التراتيب).

إشارة الدالة التربيعية:

• إذا كان a > 0: f(x) ≥ 0 لكل x (القطع فوق محور الفواصل تماماً). f(x) = 0 فقط عند x = 0.
• إذا كان a < 0: f(x) ≤ 0 لكل x (القطع تحت محور الفواصل تماماً). f(x) = 0 فقط عند x = 0.

مثال: f(x) = 2x² (a = 2 > 0 → مفتوح للأعلى). f(x) = −3x² (a = −3 < 0 → مفتوح للأسفل).

5. تمارين محلولة

تمرين 1:

لتكن f(x) = −3x + 6.

1. حدد نوع الدالة.
2. احسب f(0) و f(2).
3. ارسم التمثيل البياني.
4. أدرس إشارة f(x) على ℝ.

الحل:

1. دالة تآلفية (a = −3, b = 6).
2. f(0) = 6، f(2) = 0.
3. النقطتان (0, 6) و (2, 0) تحددان المستقيم.
4. a = −3 < 0، الجذر: x = 2.
   f(x) > 0 عندما x < 2، f(x) = 0 عندما x = 2، f(x) < 0 عندما x > 2.

تمرين 2:

لتكن f(x) = x² و g(x) = 2x.

1. ارسم كلاً من f و g في نفس المعلم.
2. حل المعادلة f(x) = g(x).

الحل:

1. f: قطع مكافئ مفتوح للأعلى، g: مستقيم يمر من الأصل.
2. x² = 2x → x² − 2x = 0 → x(x − 2) = 0 → x = 0 أو x = 2.

6. الخلاصة

الدالة	الشكل	التمثيل	معامل التوجيه
خطية	f(x) = ax	مستقيم يمر من الأصل	a
تآلفية	f(x) = ax + b	مستقيم	a
تربيعية	f(x) = ax²	قطع مكافئ	a (تقعر)

بالتوفيق في دراستكم! 🇩🇿

📍 دروس مشابهة:

• الأعداد الحقيقية – رياضيات أولى ثانوي
• الدوال العددية – رياضيات